hdu_1573_X问题 （分段之中国剩余

Posted 2020-10-15 会飞的雅蠛蝶

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。Output对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1
0
3

在我看来算是中国剩余定理的一个变形题目，或者说是lcm的一个变形题目。
每个符合答案的数字在0-N之间,并且间距为lcm。设lcm+x为符合所有a[i]的解，则lcm+lcm+x也同样符合条件。
证：
（lcm+x）%a[i]=b[i]
 lcm%a[i]=0
 (lcm+lcm+x)%a[i]=lcm%a[i]+(lcm+x)%a[i]=b[i]
设t=N%lcm
本题就可以求0-t之间是否有解和 t - lcm+t之间是否有解来解决

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
int a[15];
int b[15];
int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,m;
        int lcm=1;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>a[i];
            lcm=a[i]/gcd(lcm,a[i])*lcm;
        }
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>b[i];
        }
        int r=n%lcm;
        int cnt1=0;
        for(int i=1;i<=r&&!cnt1;i++)
        {
            for(int j=0;j<m;j++)
            {
                if(i%a[j]!=b[j])
                    break;
                if(j==m-1)
                {
                    cnt1++;
                }
            }
        }
        int cnt2=0;
        for(int i=r+1;i<=r+lcm&&!cnt2;i++)
        {
            for(int j=0;j<m;j++)
            {
                if(i%a[j]!=b[j])
                    break;
                if(j==m-1)
                    cnt2+=n/lcm;
            }
        }
        cout<<cnt1+cnt2<<endl;
    }
}