HDU 4557 Tree（可持久化字典树 + LCA）

Posted 2020-10-15 谦谦君子，陌上其华

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4757

题意：

给出一棵树，每个结点有一个权值，现在有多个询问，每次询问包含x，y，z三个数，求出在x到y的路径上与z最大的异或值。

 

思路：

看着别人的代码做完这道题目之后觉得这题和主席树求第k小是异曲同工的，主席树求第k小是对每个数建立一棵线段树，也就是说第i棵线段树记录的是区间[1,i]之间的数，这样的话[l,r]这个区间内的数就在第l棵线段树和第r棵线段树之间。

回到这题上来，这题也是要在一个范围之内寻找一个值，但是它不是数组，而是树结构，所以类似的也可以对每个结点建立字典树，记录根结点到该结点的所有权值。图解如下：

假设现在只有两个结点1和2,1是2的父亲结点，1的权值为3,2的权值为1。对1建立字典树如图左所示，对2建立字典树时如图右所示，5->6->7->8就是结点2的字典树，5->6->3->4就是结点1的字典树。所以我们对某个结点建立字典树时，就包含了根结点到该结点路径上所有点权值的情况。图中的sz表示的就是前缀出现的数量，为什么root[2]的前缀0的sz是2呢，因为一个来自1结点的，另一个是自己的，所有在计算sz值的时候，先继承父亲结点的sz，然后再加上自身的。

有了这个sz值之后，我们就可以进行查询操作了，先计算出x和y的最近公共祖先z，那么如果判断前缀是否存在就是t[t[x].son[!c]].sz+t[t[y].son[!c]].sz-2*t[t[z].son[!c]].sz>0。这样的话没有计算z，所以最后还要单独计算一下和z节点的异或值。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<vector>
  5 using namespace std;
  6 const int maxn = 1e5 + 5;
  7 
  8 int n, m, num, Log;
  9 int root[maxn], a[maxn], dep[maxn], p[maxn][20];
 10 
 11 vector<int> G[maxn];
 12 
 13 struct Trie
 14 {
 15     int son[2];
 16     int sz;
 17 }t[100*maxn];
 18 
 19 void init(int x)
 20 {
 21     t[x].sz = 0;
 22     memset(t[x].son,0,sizeof(t[x].son));
 23 }
 24 
 25 void insert(int x, int y, int val)
 26 {
 27     x = root[x], y = root[y];
 28     for(int i=15;i>=0;i--)
 29     {
 30         int c = (val>>i)&1;
 31         if(!t[x].son[c])
 32         {
 33             num++; init(num);
 34             t[x].son[c] = num;
 35             t[x].son[c^1] = t[y].son[c^1];
 36             t[t[x].son[c]].sz = t[t[y].son[c]].sz;
 37         }
 38         x = t[x].son[c], y = t[y].son[c];
 39         t[x].sz++;
 40     }
 41 }
 42 
 43 void dfs(int u, int fa)
 44 {
 45     num++; init(num);
 46     root[u] = num;
 47     p[u][0] = fa;
 48     dep[u] = dep[fa]+1;
 49     insert(u,fa,a[u]);
 50     for(int i=0;i<G[u].size();i++)
 51     {
 52         int v = G[u][i];
 53         if(v==fa)  continue;
 54         dfs(v,u);
 55     }
 56 }
 57 
 58 void LCA_init()
 59 {
 60     for(int j=1;j<=Log;j++)
 61         for(int i=1;i<=n;i++)
 62         p[i][j] = p[p[i][j-1]][j-1];
 63 }
 64 
 65 int LCA(int x, int y)
 66 {
 67     if(x==y)  return x;
 68     if(dep[x]<dep[y])  swap(x,y);
 69     for(int i=Log;i>=0;i--)
 70     {
 71         if(dep[p[x][i]] >= dep[y])  x=p[x][i];
 72     }
 73     if(x==y)  return x;
 74     for(int i=Log;i>=0;i--)
 75     {
 76         if(p[x][i]!=p[y][i])  {x=p[x][i];y=p[y][i];}
 77     }
 78     return p[x][0];
 79 }
 80 
 81 
 82 int query(int x, int y, int val)
 83 {
 84     int z = LCA(x,y);
 85     int tmp = a[z]^val;
 86     x = root[x], y = root[y], z = root[z];
 87     int ans = 0;
 88     for(int i=15;i>=0;i--)
 89     {
 90         int c = (val>>i)&1;
 91         if(t[t[x].son[!c]].sz+t[t[y].son[!c]].sz-2*t[t[z].son[!c]].sz>0)
 92         {
 93             ans+=(1<<i);
 94             c^=1;
 95         }
 96         x = t[x].son[c];
 97         y = t[y].son[c];
 98         z = t[z].son[c];
 99     }
100     return max(ans,tmp);
101 }
102 
103 int main()
104 {
105     //freopen("in.txt","r",stdin);
106     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
107     {
108         memset(p,0,sizeof(p));
109         memset(root,0,sizeof(root));
110         num = 0; init(0);
111         for(int i=1;i<=n;i++)  {scanf("%d",&a[i]); G[i].clear();}
112         for(int i=1;i<=n-1;i++)
113         {
114             int u,v;
115             scanf("%d%d",&u,&v);
116             G[u].push_back(v);
117             G[v].push_back(u);
118         }
119         dep[0] = 0;
120         dfs(1,0);
121 
122         n++;
123         for(Log=0;(1<<Log)<=n;Log++);
124         Log--;
125         LCA_init();
126 
127         while(m--)
128         {
129             int x,y,z;
130             scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
131             printf("%d\\n",query(x,y,z));
132         }
133 
134     }
135     return 0;
136 }