可重排列

Posted 2020-10-15 hit_yjl

问题描述：将x个相同的物品分成y坨（允许空坨，考虑坨的顺序），方案总数为C(x + y - 1, x)。

百度了一下发现这个东西叫可重排列。现在会两种证明方法。

（1）相当于把x个物品和y - 1个隔板这x + y - 1个元素随机排列，那么排完后每一种排列都实际上都是一种分配方案，所以答案为C(x + y - 1, y - 1)。

（2）相当于求a1 + a2 + ... + ay = x有多少组解(ai >= 0)。另bi = ai + 1, ci = sum(bj, 1, i)（即bj从第一项到第i项的和）。

等价于b1 + b2 + ... + by = x + y，因c1 < c2 < ... < cy = x + y，故考虑ci的取法，（因cy已知）便是在x + y - 1个数中取出y - 1个不同数的方案。亦即C(x + y - 1, y - 1)。