BZOJ 1019--汉诺塔(DP)

Posted 2020-10-15

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

题目链接：

　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1019 

Solution

　　　　设f [ i ] [ j ] 表示从 i 开始，把 j 个盘子移到某个盘子的最少次数。。。

　　　　然后发现这个“某个盘子”是一定的。。。

　　　　于是用 g [ i ] [ j ] 表示从 i 开始，把 j 个盘子会移到那个位置。。。

　　　　状态转移方程显然。。。

　　　　设 y = g [ i ] [ j - 1 ] ，z = 6 - y - i ；

　　　　如果 z == g [ y ] [ j - 1 ] ，说明可以把第 j 个放在 z 上 ，然后其余j-1个放到z上。。

　　　　于是 g [ i ] [ j ] = z ，f [ i ] [ j ] = f [ i ] [ j - 1 ] + f [ y ] [ j - 1 ] +1 。

　　　　如果 z != g [ y ] [ j - 1 ] ，说明不能像上面那样。。。

　　　　于是g [ i ] [ j ] = y ，f [ i ] [ j ] = f [ i ] [ j - 1 ] + 1 + f [ y ] [ j - 1 ] + 1 + f [ i ] [ j - 1 ]  。

　　　　具体的自己画一下就好了。。。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define N 500
#define LL long long
using namespace std;
int n;
char s[200];
LL dp[100][N],g[100][N];
int next[100];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=6;i++){
        scanf("%s",s);
        int from=s[0]-‘A‘+1,to=s[1]-‘A‘+1;
        if(next[from]) continue;
        next[from]=1;
        g[from][1]=to;
        dp[from][1]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++){
            int y=g[j][i-1];
            int z=6-y-j;
            dp[j][i]=dp[j][i-1]+1;
            if(z==g[y][i-1]){
                g[j][i]=z;
                dp[j][i]+=dp[y][i-1];
            }
            else{
                dp[j][i]+=dp[y][i-1]+1+dp[j][i-1];
                g[j][i]=y;
            }
        }
    printf("%lld\n",dp[1][n]);
    return 0;
}

　　

　　

This passage is made by Iscream-2001.