逆元的各种求解方式

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了逆元的各种求解方式相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。

当a与f互素时,a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素,则无解。如果f为素数,则从1到f-1的任意数都与f互素,即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。
(不会证明,想通了补)
首先a与f要互素,否则无逆元
1.扩展欧几里德:扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)
        扩展欧几里德的证明和代码http://www.cnblogs.com/jhz033/p/5330252.html
        ax≡1 mod f;相当于ax+fy==1,因为gcd(a,f)==1;
        x解出来就是逆元
2.费马小定理:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
         如果f为素数。可以根据费马小定理得到逆元为
          推导过程如下

                            

3.公式如下

          

现在我们来证明它,已知,证明步骤如下

          

上面部分取自http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

 

逆元打表,根据模的那个数如果是素数m,可以o(n)直接打表所有的对m的逆元,不用每次都log级别求逆元;

typedef  long long ll;  
const int N = 1e5 + 5;  
int inv[N];  
   
void inverse(int n, int p) {  
    inv[1] = 1;  
    for (int i=2; i<=n; ++i) {  
        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;  
    }  
}  

 

以上是关于逆元的各种求解方式的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

逆元的求法

逆元的认知与应用——处理除数很大的时候

《夜深人静写算法》数论篇 - (18) 逆元

夜深人静写算法(三十四)- 逆元

逆元(转载)

乘法逆元