「HZOI 2016」架设电话线路

Posted 2020-10-15

Description

最近，约翰的奶牛们越来越不满足于牛棚里一塌糊涂的电话服务，于是，她们要求约翰把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。新的电话线架设在已有的n(n<=100000)根电话线杆上，第i根电话线的高度为hi，（1=<hi<=100）。电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端，如果这两根电话线杆的高度hi和hj不同，那么约翰就必须支付c*abs（hi-hj）的费用，当然，你不能移动电话线杆，只能按照原有的顺序在相邻杆间架设电话线。
加高某些电话线杆能减少架设电话线的总费用，尽管这项工作也需要支付一定的费用。更准确的说，如果他把一根电话线杆加高x米的话，他需要付出x^2费用。
请你帮约翰计算一下，如果合理的进行这两项工作，他最少要在这个电话线改造工程中花多少钱。

Input

第一行输入两个数n和c，含义如上
接下来n个整数hi

Output

输出约翰完成电话线改造工程需要花费的最小费用

Sample Input

5 2
2 3 5 1 4

Sample Output

15

Solution

明显的dp,但朴素的dp时间复杂度为O(hihin),无法满足要求,因此考虑优化
思考发现,对于当前的f[i][j],其从上一个转移过来的是单调的,满足单调性质,使用决策单调优化

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;
#define R register
#define ll long long
#define fo(i,a,b) for(R int (i)=(a);(i)<=(b);++(i))
int n,c,a[100001],f[100001][101],ans=1e9;
int main()
{
    memset(f,127/3,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&n,&c);
    fo(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
    fo(i,a[1],100)f[1][i]=(i-a[1])*(i-a[1]);
    fo(i,2,n)
    {
        R int minn=1e9;
        for(int j=0;j<=100;++j)
        {
            if(j>=a[i-1])minn=min(minn,f[i-1][j]-c*j);
            if(j>=a[i])f[i][j]=min(f[i][j],minn+c*j+(j-a[i])*(j-a[i]));
            //也许有人会问,minn的-c*j和f[i][j]的+c*j是什么鬼?
            //由于j从小到大枚举,minn里的j肯定<=f[i][j]里的j,代替绝对值
            //下同
        }
        minn=1e9;
        for(int j=100;j>=0;--j)
        {
            if(j>=a[i-1])minn=min(minn,f[i-1][j]+c*j);
            if(j>=a[i])f[i][j]=min(f[i][j],minn-c*j+(j-a[i])*(j-a[i]));
        }
    }
    fo(i,0,100)ans=min(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}