康托展开与康托展开的逆运算

Posted 2020-10-15 HAZELNUT MUSEUM

康托展开用来求数组是该全排列的第几项，康托展开的逆运用用于求全排列的第几个排列。 
已知对于1-n个数的全排列，总共的可能是n!种。对于一个已知的数列比如45321，在第一项是4时，表示第一项在此之前已经填放过1 2 3了，而后面的第二项至第五项则又是一个全排列，那么此时的排列数就是3 * 4 !；第二位是5，则在放入5之前第二项已经放过1 2 3了，那么排列数再加上3 * 3!；依次类推，最终答案为：∑ni=1=a[i]?(n?i)! 其中a[i]表示第i项前比它小的没出现过的数字的个数。

易证，a[1]?(n?1)!>∑ni=2=a[i]?(n?i)! ，因此给定一个r表示是全排列的第r项，由r/(n?1)! 得到a[1]，则第一位数即a[1] + 1；在r中减去(a[1] + 1) * (n -1)!，同理可以由$r / (n-2)!&得到a[2]；依次类推，最后得到整个排列。 

要注意的是 0! = 1

代码模版：

ll fac[20]; //阶乘

void getFac()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<20;i++)
        fac[i] = 1LL * fac[i-1] * i;
}

ll cantor(int *a,int len) //康托展开求a是全排列第几项,a从1开始
{
    ll ret = 0;
    int vis[20] = {0};
    for(int i=1;i<=len-1;i++)
    {
        ll tp = 0;
        for(int j=1;j<a[i];j++)
            if(!vis[j])
                tp ++;
        ret += 1LL * tp * fac[len - i];
        vis[a[i]] = 1;
    }
    return ret + 1;
}

void _cantor(ll r,int len)    //康托展开逆运算求第r个排列
{
    r --;
    int vis[20] = {0},a[20];
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        ll tp = r / fac[len - i];
        r -= tp * fac[len - i];
        int j;
        for(j=1;j<=len;j++)
            if(!vis[j])
            {
                if(tp == 0) break;
                tp --;
            }
        vis[j] = 1;
        a[i] = j;
    }
    for(int i=1;i<len;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    printf("%d\n",a[len]);
}