线性查找算法(BFPRT)

Posted 2020-10-15 wade&luffy

BFPRT算法的作者是5位真正的大牛（Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan）。

BFPRT解决的问题十分经典，即从某n个元素的序列中选出第k大(第k小)的元素，通过巧妙的分析，BFPRT可以保证在最坏情况下仍为线性时间复杂度。

步骤

1. 将n个元素每 5 个一组，分成n/5(上界)组。
2. 取出每一组的中位数，任意排序方法，比如插入排序。
3. 递归的调用 selection 算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为x，偶数个中位数的情况下设定为选取中间小的一个。
4. 用x来分割数组，设小于等于x的个数为k，大于x的个数即为n-k。
5. 若i==k，返回x；若i<k，在小于x的元素中递归查找第i小的元素；若i>k，在大于x的元素中递归查找第i-k 小的元素。

　终止条件：n=1 时，返回的即是i小元素。

================================
待查找的数组 ： 
4 1 2 56 24 5 6 97 8 0 4 8 6 2 3 6 1 9 3 4 6 2 
找出第 8 小的数
被分割的数组 ： 
4 1 2 56 24 
该数组的中位数 : 4
被分割的数组 ： 
5 6 97 8 0 
该数组的中位数 : 6
被分割的数组 ： 
4 8 6 2 3 
该数组的中位数 : 4
被分割的数组 ： 
6 1 9 3 4 
该数组的中位数 : 4
中位数的集合 ： 
4 6 4 4 
经过选择排序后的中位数数组 ： 
4 4 4 6 
定义的 x 为 ： 4
================================
待查找的数组 ： 
4 1 2 0 4 2 3 1 3 4 2 
找出第 8 小的数   //数组长度比8大
被分割的数组 ： 
4 1 2 0 4 
该数组的中位数 : 2
被分割的数组 ： 
2 3 1 3 4 
该数组的中位数 : 3
中位数的集合 ： 
2 3 
经过选择排序后的中位数数组 ： 
2 3 
定义的 x 为 ： 2  //前6小的数据已得出(0 1 1 2 2 2)
================================
待查找的数组 ： 
4 4 3 3 4 
找出第 2 小的数   3 //(8-6=2  查出第二2小的数据)
第 8 小的数为 ： 3
(0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 8 8 9 24 56 97)

ps:

1.为何利用5作为元组大小，可能是与寄存器的数量和运算有关。

2.为何称为线性的解答：

划分时以5个元素为一组求取中位数，共得到n/5个中位数，再递归求取中位数，复杂度为T(n/5)。

得到的中位数x作为主元进行划分，在n/5个中位数中，主元x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，主元x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。

在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描，其时间复杂度为c*n，其中c为常数。

其总的时间复杂度满足： T(n)<=T(n/5)+T(7/10*n)+c*n

假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n。得到 x<=10*c

于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。

而这又是最坏情况下的分析，故BFPRT可以在最坏情况下以线性时间求得n个数中的第k个数。