数组中最长的升序子序列（动态规划问题）

Posted 2020-10-15 VIJOZ的程序世界

The longest Increasing Subsequence (LIS) 
给定一个序列，找到这个序列的一个最长的子序列，使得子序列的所有元素是升序的，且元素之间的相对位置不变（元素可以在原数组中不相邻，但是相对位置不变） 
比如, LIS for { 10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80 } 是 6，LIS 是 {10, 22, 33, 50, 60, 80}.

分析 
arr[0…n-1]是输入，然后L(i)是到元素i为止 LIS 的长度，也就是arr[i]作为 LIS 的最后一个元素时 LIS 的长度，那么用递归形式 L(i) 可以写作：

for(j<i)
    if(arr[j]<arr[i]) L(i) = {1+Max( L(j) )} 
if(j == 1) //递归的终止条件
    L(i) = 1

所以这个问题可以将其分解为 subproblems 用递归进行解决：

#include <iostream>
using namespace std;

int LIS(int *arr, int n, int *max_ref)
{
  if(n==1) return 1;
  int res, longest_here=1;

  for(int i = 1; i<n; ++i)
  {
    res = LIS(arr, i, max_ref);
    if(arr[i-1]<arr[n-1] && res+1>longest_here)
      longest_here = res+1;
  }

  if(*max_ref < longest_here)
    *max_ref = longest_here;

  return longest_here;
}

int main()
{
    int arr[] = { 10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60 };
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    int max=1;
    LIS( arr, n, &max);
    cout<<max<<endl;
    return 0;
}

非递归方法，这个需要开辟额外的存储空间。

int LIS2(int *arr,int n)
{
  int *longest_here = new int[n]();
  longest_here[0] = 1;
  int max = 1;
  for(int i = 1; i<n; ++i)
  {
    for(int j = 0; j<i; ++j)
    {
      if(arr[j]<arr[i] && longest_here[j]+1>longest_here[i])
    longest_here[i] = longest_here[j]+1;

    }
    if(longest_here[i]>max)
      max = longest_here[i];
  }

  delete []longest_here;
  return max;

}

wiki上边有时间复杂度为O(nlog(n))的解法