DLT（Direct Linear Transform）算法

Posted 2020-07-03 neu博

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了DLT（Direct Linear Transform）算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

1、DLT定义

DLT是一个用于解决包含尺度问题的最小二乘问题的算法。

DLT解决问题的标准形式为：

${x_k}{\\propto}A{y_k}$ (1)

另一种表现形式为：

${x_k}={\\alpha}A{y_k}$ 或者 ${\\alpha}{x_k}=A{y_k}$ (2)

这种模型在投影几何中会经常遇到。

例如，针孔相机投影模型，3D点到图像平面的投影关系；

两视图几何中的单应性矩阵（Homography）;

2、DLT求解

因为尺度 $\\alpha$ 的存在，因为不能用线性齐次最小二乘法直接求解。

由（1）（2）式子可知：和的方向是相同的，即叉乘结果为0：

${x_k}{\\times}A{y_k}=0$

对（3）用叉乘矩阵来表示：

${\\left[{{x_k}}\\right]_\\times}A{y_k}=0$ (4)

对于（4）式，可参考：向量叉乘与叉乘矩阵

对（4）式进行变型就可以得到一个线性齐次最小二乘求解问题。可以参考：最小二乘法

3、举例

${\\alpha}{x_k}=A{y_k}$

${x_k}=\\left[{\\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1k}}}\\\\ {{x_{2k}}} \\end{array}}\\right]$ ${y_k}=\\left[{\\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{1k}}}\\\\ {{y_{2k}}}\\\\ {{y_{3k}}} \\end{array}}\\right]$

由公式（4）：

展开：

$\\begin{array}{l} {\\left[{{x_k}}\\right]_\\times}A{y_k}=\\;{a_{11}}{x_{2k}}{y_{1k}}-{a_{21}}{x_{1k}}{y_{1k}}+{a_{12}}{x_{2k}}{y_{2k}}\\\\ \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;-{a_{22}}{x_{1k}}{y_{2k}}+{a_{13}}{x_{2k}}{y_{3k}}-{a_{23}}{x_{1k}}{y_{3k}} \\end{array}$

写成矩阵的形式：

${\\left[{{x_k}}\\right]_\\times}A{y_k}={b_k}a=0$

其中：

${b_k}=\\left[{\\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{2k}}{y_{1k}}}\\\\ {-{x_{1k}}{y_{1k}}}\\\\ {{x_{2k}}{y_{2k}}}\\\\ {-{x_{1k}}{y_{2k}}}\\\\ {{x_{2k}}{y_{3k}}}\\\\ {-{x_{1k}}{y_{3k}}} \\end{array}}\\right]$ $a=\\left[{\\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\\\ {{a_{21}}}\\\\ {{a_{12}}}\\\\ {{a_{22}}}\\\\ {{a_{13}}}\\\\ {{a_{23}}} \\end{array}}\\right]$

以上是关于DLT（Direct Linear Transform）算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

DLT（Diagnostic Log and Trace）嵌入式系统程序运行记录

国网智能电表DLT645/DLT698.45协议规约驱动解析说明及命令示例

Diagnostic Log and Trace——DLT 离线日志存储

DLT645和modbus rtu无线通信协议介绍对比

Diagnostic Log and Trace——dlt的编译和安装