求素数的高效实现

Posted 2020-10-15 zhengmengen

对于给定的一个数n，如何判断其是否是素数呢？

最简单最直观的方法是试除法（下面的算法1、2、3），还有一种方法是Rabin-Miller算法。

1. From 2 To n
   1. 思路：从2到n-1，做取模运算n mod ( i )，若运算结果均为 0 ，则 n 为素数
   2. 实现：

      public boolean isPrimeNumber(int n){
          for(int i = 2;i < n; i++){
              if(n%i==0)
                  return false;
          }
          return true;
      }

2. From 2 To n^?
   1. 思路：对上一个方法的优化，只要循环到 n^? 就足以判断了
      
   2. 实现：

      public boolean isPrimeNumber(int n){
          int target = (int)Math.sqrt(n);
          for(int i= 2;i<target;i++)
              if(target%i==0)
                  return false;
          return true;
      }

3. From Prime[min] To Prime[max]
   1. 思路：将 n^? 之前的所有素数存到数组，在该素数数组内循环
   2. 实现：

      class Solution{
          int[] Prime = new int[Integer.MAX];
          Prime[0] = 2;
          count = 1;
          
          //与其说是检测是否为素数，本程序其实是从头开始建立素数数组，无法做到针对单一数字的离散判断，而且对于大数而言，空间代价较大
          public static boolean isPrime(int n){
              int target = (int)Math.sqrt(n);
              for(int i = 0;i<count;i++)
                  if(target%Prime[i]==0)
                      return false;
              return true;
          }
      }

4. Rabin-Miller算法
   1. 思路：判断 n 是否为素数，首先要确保 n 是奇数。另外已知奇数总能写成 n = (2^r)*s+1，其中 s 也是奇数。Rabin-Miller算法是一种概率素数检测算法，该算法认为：只要奇数 n 能够满足①或者②（通过Rabin-Miller测试），那么他就是一个素数。【但事实是，有些合数也能通过Rabin-Miller测试，所以在实践时，往往会多做几次测试，也就是换个 a 多做几次①和②，如果每次都能通过测试，那么就说 n 是个素数，且正确率极高】
      1. 验算①：取随机整数 a ，a的取值范围是[1，n-1]，a^s = 1 mod n
      2. 验算②：取随机整数 a ，a^s((2^j)*s) = -1 mod n ，其中0≤j<R.
   2. 实现：(未验证)

      //n是待测数字，s设定Rabin-Miller测试次数
      public boolean isPrime(int n, int s){
          for(int  i=0;i<s;i++){
              int a = rand()*(n-2)/RAND_MAX+1;
              //只要有一次没有通过Rabin-Miller测试，那么 n 就不是素数
              if(RabinMiller(a,n))
                  return false;
          }
          return true;
      }
      
      //一次Rabin-Miller测试实现
      public boolean RabinMiller(int a,int n){
          long i,d=1,x;
          for(i = (int)Math.ceil(Math.log((double)n-1)/Math.log(2.0))-1; i>=0; i--){
              x = d;
              d = (d*d)%n;
              if( 1==d && x!=1 && x!=n-1)
                  return true;
              if((n-1)&(1<0))
                  d = (d*a)%n;
          }
          return d!=1;
      }