SPOJ839 Optimal Marks（最小割）

Posted 2020-07-03 新博客↓

题目大概说给一张图，每个点都有权，边的权等于其两端点权的异或和，现已知几个点的权，为了使所有边的边权和最小，其他点的权值该是多少。

很有意思的一道题，完全看不出和网络流有什么关系。

考虑每个未知的点$x$的权的二进制的第$i$位$x_i$，其对边权和的贡献为$\sum_{(x,y)\in E}(2^i\cdot(x_i\ \hat{}\ y_i))=2^i\sum_{(x,y)\in E}(x_i\ \hat{}\ y_i)$，而$x_i$取值是$0$或$1$！

这样问题就明了了：

• 相当于对于每个点中的每一位让它们取0或1
• 对于未知的取0或1花费都为0
• 对于已知的是0或1，那么对应取0或1的花费也是0，而取1或0的花费是INF
• 对于边其两端点如果取值不同则需要额外$2^i$的花费

这样这就是一个经典的二者选其一花费最小的最小割模型了！

另外不需要每个点都拆成最多二进制位数个数的点，这样容量网络的点上万个——因为各个位是独立的，所以可以分开求，即跑二进制位数个数次的网络流。

最后求答案，只需从源点floodfill找到S集合有哪几个点就知道所有点的各个位的取值了。

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<queue>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 #define INF (1<<30)
  7 #define MAXN 555
  8 #define MAXM 555*555*2
  9 
 10 struct Edge{
 11     int v,cap,flow,next;
 12 }edge[MAXM];
 13 int vs,vt,NE,NV;
 14 int head[MAXN];
 15 
 16 void addEdge(int u,int v,int cap){
 17     edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=0;
 18     edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
 19     edge[NE].v=u; edge[NE].cap=0; edge[NE].flow=0;
 20     edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
 21 }
 22 
 23 int level[MAXN];
 24 int gap[MAXN];
 25 void bfs(){
 26     memset(level,-1,sizeof(level));
 27     memset(gap,0,sizeof(gap));
 28     level[vt]=0;
 29     gap[level[vt]]++;
 30     queue<int> que;
 31     que.push(vt);
 32     while(!que.empty()){
 33         int u=que.front(); que.pop();
 34         for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 35             int v=edge[i].v;
 36             if(level[v]!=-1) continue;
 37             level[v]=level[u]+1;
 38             gap[level[v]]++;
 39             que.push(v);
 40         }
 41     }
 42 }
 43 
 44 int pre[MAXN];
 45 int cur[MAXN];
 46 int ISAP(){
 47     bfs();
 48     memset(pre,-1,sizeof(pre));
 49     memcpy(cur,head,sizeof(head));
 50     int u=pre[vs]=vs,flow=0,aug=INF;
 51     gap[0]=NV;
 52     while(level[vs]<NV){
 53         bool flag=false;
 54         for(int &i=cur[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 55             int v=edge[i].v;
 56             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+1){
 57                 flag=true;
 58                 pre[v]=u;
 59                 u=v;
 60                 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
 61                 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
 62                 if(v==vt){
 63                     flow+=aug;
 64                     for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
 65                         edge[cur[u]].flow+=aug;
 66                         edge[cur[u]^1].flow-=aug;
 67                     }
 68                     //aug=-1;
 69                     aug=INF;
 70                 }
 71                 break;
 72             }
 73         }
 74         if(flag) continue;
 75         int minlevel=NV;
 76         for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 77             int v=edge[i].v;
 78             if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
 79                 minlevel=level[v];
 80                 cur[u]=i;
 81             }
 82         }
 83         if(--gap[level[u]]==0) break;
 84         level[u]=minlevel+1;
 85         gap[level[u]]++;
 86         u=pre[u];
 87     }
 88     return flow;
 89 }
 90 int x[3333],y[3333],u[555],p[555];
 91 int ans[555];
 92 bool vis[555];
 93 void dfs(int u){
 94     vis[u]=1;
 95     for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
 96         int v=edge[i].v;
 97         if(vis[v] || edge[i].cap==edge[i].flow) continue;
 98         dfs(v);
 99     }
100 }
101 int main(){
102     int t,n,m,a,b,k;
103     scanf("%d",&t);
104     while(t--){
105         scanf("%d%d",&n,&m);
106         for(int i=0; i<m; ++i){
107             scanf("%d%d",x+i,y+i);
108         }
109         scanf("%d",&k);
110         for(int i=0; i<k; ++i){
111             scanf("%d%d",u+i,p+i);
112         }
113         memset(ans,0,sizeof(ans));
114         for(int i=0; i<31; ++i){
115             vs=0; vt=n+1; NV=vt+1; NE=0;
116             memset(head,-1,sizeof(head));
117             for(int j=0; j<m; ++j){
118                 addEdge(x[j],y[j],1);
119                 addEdge(y[j],x[j],1);
120             }
121             for(int j=0; j<k; ++j){
122                 if((p[j]>>i)&1) addEdge(vs,u[j],INF);
123                 else addEdge(u[j],vt,INF);
124             }
125             ISAP();
126             memset(vis,0,sizeof(vis));
127             dfs(vs);
128             for(int j=1; j<=n; ++j){
129                 if(vis[j]) ans[j]+=(1<<i);
130             }
131         }
132         for(int i=1; i<=n; ++i){
133             printf("%d\n",ans[i]);
134         }
135     }
136     return 0;
137 }