康托展开 / 逆康托展开

Posted 2020-07-03

　　先搬一下(戳)维基百科的康托展开(戳):

　　康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

　　由于是双射    所以可以求n的全排列里第k大的排列(逆康托展开)

 

　　(伪)计算原理: 从某个元素找后面比这个元素小的数的个数，再乘以这个位置每一个数字能有的组合方法数(排列 / 阶乘)，得出只考虑从这一位开始到末尾比当前小的排列数，然后加起来就是康托展开求的数(追求难懂的巅峰...........看不懂就看看维基.........

　　　　公式：    

　　　　　　　　a_{i 是整数 且 0 <= ai < i ,  1 <= i <= n} 

　　　　　　　　a_{i 的意义:参悟栗子吧}

　　　　栗子：

　　　　例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。
　　　　    因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
　　　　解释：
  　　　　  排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!
 　　　　   排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!
  　　　　  以此类推，直至0*0!

 

　　再贴一下(戳)NOCOW关于康托展开的一页(戳)，有代码，看得懂就差不多了

 

　　逆康托展开并不是康托展开完全逆过来：

　　　　1.减去1，得到比该排列小的排列的数量

　　　　2.从高位算起：取摸对应位的阶乘，得到在这一位后面比这一位小的数的个数(所以要注意前面比这一位的数小的要去除)

　　　　

　　　　栗子：

　　　　如n=5,x=96时：
    　　　　首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去！)
   　　　　 用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.
    　　　　用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现    过，因此是5.
   　　　　 用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.
   　　　　 用1去除1!得到1余0，这一位是2.
   　　　　 最后一位只能是1.
   　　　　 所以这个数是45321.

　　

　　再贴上忘了什么时候写的代码：

　

 1 typedef long long ll;
 2 const ll factorial[11] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800};
 3 int num[101];
 4 ll Cantorex(int n){
 5     for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> num[i];
 6     ll sum = 0;
 7     for(int i = 0; i < n; ++i){
 8         int t = 0;
 9         for(int j = i + 1; j < n; ++j) if(num[j] < num[i]) ++t;
10         sum += t * factorial[n-i-1];
11     }
12     return sum;
13 }
14 ll uCantorex(ll sum, int n){
15     memset(num, 0, sizeof(num));
16     sum -= 1;
17     int x = 0;
18     ll ans = 0;
19     for(int i = n - 1; i > 0; --i){
20         ll k = sum / factorial[i] + 1;
21         sum %= factorial[i];
22         while(num[k]) ++k;
23         num[k] = 1;
24         ans = ans * 10 + k;
25     }
26     for(int i = 1; i <= n; ++i)
27         if(!num[i]) ans = ans * 10 + i;
28     return ans;
29 }

 

　　Done!