拉格朗日乘子法和KKT条件

Posted 2020-10-14 代码空间

1. 拉格朗日乘子(Lagrange Multiplier)法

假设函数z=f(x,y)，求该函数的最小值，如果没有约束条件，则可以表示为minf(x,y)，要求出minf(x,y)很简单，根据Fermat定理，分别对x和y求导数并让其等于0，如果是凸函数，则求出来的点就是函数取得最小值的点，该点的函数值即f(x,y)的最小值。

如果有等式约束条件g(x,y)=c，g(x,y)=c为(x,y)平面上的一条曲线，想象f(x,y)的等高线下降，当等高线和g(x,y)=c有交点时，满足约束条件，但肯定不是最优值，因为还可以继续下降。只有当下降到f(x,y)和g(x,y)=c相切时，这时两条曲线的切点处的f(x,y)的值才是最优值，如下图所示。

由上图可知，在切点处，两条曲线拥有共线的法向量，所以两条曲线的梯度(Gradient)成正比，即，相当于把目标函数和约束条件写成一个函数，然后对该函数求导等于0，即可求得最优值。如果约束条件有多个，方法也是一样的。

所以，对于这类问题可以表示为：

解决的方法是将目标函数和约束条件写成一个式子：

分别对x_i求导数并让其等于0，可求得最优值。

2. KKT条件

以上是等式约束，如果是不等式约束的话，问题变成了：

可以想象，多个约束条件构成了一个区域，这个区域就是自变量的范围。最优值肯定在这个区域的某一个顶点处取得，此时和这个顶点相关的约束条件等于0，和这个顶点不相关的约束条件（即不需要考虑的约束条件）不等于0。如下图所示，g1(x)、g2(x)、g3(x)围成了一个区域，最优值在g1(x)和g3(x)的交点处取得，此时g2(x)不需要考虑，则g1(x)和g3(x)的值为0，前面的系数可以不为0，g2(x)不为0，前面的系数必须为0。

因此，同样的可以把目标函数和约束条件写成一个式子：

 

对于，要么b=0，要么g(x_i)=0，所以必须有。

如果同时存在等式约束和不等式约束，则

那么最优值必须满足以下3个条件：

(1) L对x_i求导等于0；

(2)；

(3)。

以上就是KKT条件。