动态规划--最长递增子序列

Posted 2020-10-14 A.ArmStrong

  经典的最长子序列问题，最近编程训练遇到此题苦无思路，在网上找到比较规范的解答，细思两天后还是觉得有点问题，现在整理总结如下：

参照 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5597658.html

1. 问题描述：

给定一个序列，求解它的最长 递增 子序列 的长度。比如： arr[] = {3,1,4,1,5,9,2,6,5}   的最长递增子序列长度为4。即为：1,4,5,9

2.DP算法分析：

按照上述作者的解答  

①最优子问题

设lis[i] 表示索引为 [0...i] 上的数组上的 最长递增子序列。初始时，lis[i]=1，注意，在DP中，初始值是很重要的，它是整个算法运行正确的关键。而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。

当 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max{lis[j]}+1 ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

当 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max{lis[j]} ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1 

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这里的关键是 理解lis[i] = max{lis[j]} +1，max{lis[j]} 表示到第j个元素且以此元素结尾的最长子序列，所以当arr[i]大于末尾元素时，最长子序列应该加第i个元素；