复合函数

Posted 2020-10-14

\\(\\fbox{例1}\\)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题)
若函数\\(f(x)=log_a^\\;(6-ax)\\)在\\([0，2]\\)上为减函数，则实数\\(a\\)的取值范围是（）

A、\\([3，+\\infty)\\) \\(\\hspace{2cm}\\) B、\\((0，1)\\) \\(\\hspace{2cm}\\) C、\\((1，3]\\) \\(\\hspace{2cm}\\) D、 \\((1，3)\\)

分析：令\\(g(x)=6-ax\\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，由题目可知必有\\(a>0\\)，故函数\\(g(x)\\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\\(g(2)>0\\)即可，再考虑外函数必须是增函数，故\\(a>1\\)，结合\\(g(2)>0\\)，解得\\(1<a<3\\)，故选D。

\\(\\fbox{例2}\\)(复合函数的求导)
设\\(f(x)=sin(2x+1)\\)，求导函数\\(f'(x)\\)；设\\(g(x)=ln(x^2+3x)\\)，求导函数\\(g'(x)\\)；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如\\(y=f(u)\\)和\\(u=g(x)\\)，则复合函数为\\(y=f[g(x)]\\)，\\([f(g(x))]'=f'[g(x)]\\cdot g'(x)\\)

令\\(\\phi=2x+1\\)，则\\(y=f(x)=sin\\phi\\)，故\\(f'(x)=y'_x=y'_{\\phi}\\cdot \\phi'_x=cos\\phi\\cdot 2=2cos(2x+1)\\)；

\\(g'(x)=\\cfrac{1}{x^2+3x}\\cdot (x^2+3x)'=\\cfrac{2x+3}{x^2+3x}\\)；