关于卷积的一个实例

Posted 2020-10-14 havihouston

 

对于卷积的计算需要把握住两个方向点，第一个是在n点处的累积范围 ， 第二个是用来做累积的变量的范围。用下面的实例来说明：

例子1 ： 

　求两个信号的卷积？

    解 ：

　xn和hn的图像分别如下所示 ： 

 

　　这里需要分情况考虑他们各自的卷积过程分别是在 0<=n<=4 ; 5<=n<=6 ; 7<=n<=10 ; n为其他值的情况，这么分别考虑的原因是他们在这几个范围内的累加变量不一样：

 

 

（1）、当  0<=n<=4 ; 对应于每一个n ， 在k轴上的累加方位也是跟随者n的值增加而增加的，所以：

　    　

　　     这个表达式表示了在对应n的情况下每一次的值，然后在上式对k的范围做累积得：

     

 

 （2）、当 5<=n<=6时，也即x[n]和h[n]在xn的有效范围之内都是相交的，所以对于k的累积范围就是 0 <= k <=4

　　　

          

 

 （3）、当 7<=n<=10时，他们之间的有效相交范围为 n-6 <= k <= 4;

　　

   

　　　　为了方便计算 ， 令 r = k - n +6;则上式可以写成

　　　　

 

其他的n值y[n] = 0;

 

 

例子2：  关于连续信号的卷积计算，同样需要确定他的积分范围以及响应的数据

x(t) = 1 ; 0 < t < T

h(t) = t ; 0 < t < 2T

求解两个信号的卷积？

同样这个卷积也是要分段来求得，应为对于不同的段，他们的积分变量的上下限是不一样的，该个主要分成为4段分别为：

0 < k < T ; T < k < 2T ; 2T < k < 2T;

他的输入和响应图像如下所示 ： 

（1）、当 0 < k < T 时，x(k)与h[k]之间重叠的部分是根据t的变化而变化的，也就是说 0 < k < t;

      

　　

 

（2）、当 T < k < 2T时，x(k)与h[k]之间重叠的部分是固定的0 - T，也就是说 0 < k < T;

　　 

        

（2）、当 2T < k < 3T时，x(k)与h[k]之间重叠的部分也是根据t的变化而发生变化的，也就是说 t-2T < k < T;

       

        

 

总结 ： 

对于这一类的卷积和还是卷积积分，最主要的就是要先搞清楚他在任意n和t值上的卷积的积分上下限以及求和的范围，有了这个范围，在对相应的范围做累积和和积分就可以了。