算法中的数学

Posted 2020-07-03 codeg

A、数学：

1、高斯消元法：

概念：数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

模板：

kunagbin：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/09/01/2667044.html

2、概率问题：熟知原理，明确过程即可。

3、GCD问题（最大公约数）：

主要使用辗转相除法，辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

这就是辗转相除法的原理。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29），

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0），

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29.

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

代码：

 1 #include<stdio.h>
 2 
 3 int GCD(int a,int b)
 4 {
 5     return a%b?GCD(b,a%b):b;
 6 }
 7 
 8 int main()
 9 {
10     int x,y;
11     scanf("%d%d",&x,&y);
12     printf("%d",GCD(x,y));
13     return 0;
14 }

B、组合数学：

1、加法原理:类类独立；乘法原理:步步相关。

2、排列组合:http://www.cnblogs.com/PegasusWang/archive/2013/01/22/2872312.html

3、递推关系：http://www.cnblogs.com/skyme/p/3541863.html

4、MoBius反演：百度百科

5、偏序关系：离散数学知识。

6、容斥原理：百度百科

7、抽屉原理（鸽巢原理）：百度百科

8、置换群:百度百科

9、Polya定理：http://blog.csdn.net/xuzengqiang/article/details/7476671

当前对自己来说有些难，等把《组合数学》看了再来补充。

C、数论：

1、素数与整除问题：熟知概念即可。

2、进制位：掌握进制间的转换

3、同余模运算： 在这里我们介绍以下三个公式:

                      (a+b)mod n =  ((a mod n)+ (b mod n))mod n;

                      (a-b) mod n = ((a mod n )- (b mod n)+n)mod n;

                      ab mod n = (a mod n) (b mod n) mod n

                      注意，在减法中，由于a mod n 可能小于b mod n，需要在结果上加上n，而在乘法中，需要注意a mod n 和 b mod n相乘是否会溢出，因此这里要注意用long 型保存中间结果。

D、博弈论：

1、极大极小过程：主要用在棋类的使用上，具体可参考以下博客：

极大极小值算法：http://blog.csdn.net/weirenren_027/article/details/10282719

极大极小搜索方法：http://blog.csdn.net/kingkong1024/article/details/7639401

2、Nim问题：

      博弈论经典问题，Nim游戏是一个典型的组合游戏问题，很多游戏问题都可以规约到Nim游戏问题。Nim游戏问题是一个ICG（Impartial Combinatorial Games）问题；

ICG问题的特征是：

       1.两个人参与，交替走棋；

       2.可能的走法在一个有限的集合里选取；

       3.游戏局面无后效性，未来与过去无关；

       4.如果某选手无法走动，则判负；

Nim的理论

      游戏状态只分两种：当前先手必胜，当前先手必败；前者称为N位置，后者称为P位置；

更为严谨的定义是：

      终止状态是P位置；

      能够移动到P位置的状态时N位置；

      只能到N位置的状态时P位置；

Nim问题的解法：

      所有堆的石子数目求异或；为0则是P位置;

证明：

     1，终止状态所有位置都为0，是P位置；

     2，对于一个异或为非0的N位置是能够移动到P位置的（这个还没有想明白……(～ o ～)~zZ）；

      3，异或为0的P位置只能移动到N位置，因为对其进行异或运算得到的只能是非0的；

E、随机化算法：

理解概念原理。。