一起啃PRML - 1.2.2 Expectations and covariances 期望和协方差

Posted 2020-07-03 AI Believer

一起啃PRML - 1.2.2 Expectations and covariances 期望和协方差

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涉及到概率的一个重要的操作是寻找函数的加权平均值。在概率分布p(x)下,函数f(x)的平均值被称为f(x)的期望(expectation),记作E[f]。对于一个离散变量,它的定义为：

因此平均值根据x的不同值的相对概率加权。在连续变量的情形下,期望以对应的概率密度的积分的形式表示：

 

类似的，我们有“条件期望”。无非就是把边缘概率变成条件概率。

 

在连续变量的情况下，我们把求和改成积分就好了。

 

如果我们给定有限数量的N 个点,这些点满足某个概率分布或者概率密度函数,那么期望可以通过平均的方式估计：

 

可以看出，当点数足够多，即N趋向于无穷大的时候，估计变得精准。

 

f(x)的方差被定义为：

 

方差是干什么的呢，它度量了f(x)在均值E[f(x)]附近变化性的大小。

我们可以把期望大概看成一个不错的平均值吧。

 

如果我们把方差展开，则会得到一个关于f(x)和f(x)2的期望的式子

 

 

。。。。。

。。。。。

。。。。。

我去，这一步的推导真是太66666666666了

太！6！了！

书里真是轻！描！淡！写！就过去了！！！！

太！6！了！

我们都是天才吗一步就能看懂！！！

太！6！了！

 

幸好请教了伟大的学姐，真是，无！力！吐！槽！

如果只是我的智商低，请忽略这一段，谢谢，关爱智障儿童。。。

 

期望的运算还真是有讲究。

书里轻描淡写的展开实际过程应该是：

 

其实就是几个运算律来回用：

E[A-B]=E[A]-E[B]

E[E[A]]=E[A]

E[A*B]=E[A]*E[B] (A,B相互独立时)

 

行吧。我服了。

要是整本书都是这些“展开”，那真是要死了。

 

作为一个只有高一数学基础的中学生已经很难了好不好。。。

好我们继续。

 

当然了，我们不仅可以关心函数，更可以关心我们的自变量本身，于是有： 

有一个变量的方差，我们就有两个变量的方差，在这里我们称之为“协方差”，它是这么定义的：

 

看起来和方差长得一模一样。同理可以展开。

那么协方差是干什么用的呢？它表示在多大程度上x和y会共同变化。也就是说，如果x,y相互独立，x和y的协方差就是0。还记得篮子和苹果的例子吗？

 

有两个变量的协方差，我们就有向量的协方差，它是这么定义的：

 

可以看出，两个向量的协方差是个矩阵。每两个元素一一对应求协方差。

 

当这两个向量长得一样的时候，其实就是求自己和自己的协方差，我们有一个偷懒的记号：

 

那么这个表示一个向量内元素之间共同变化的程度。等以后配合上实例再谈这些应该会更好一些。