Tarjan算法求强连通分量

Posted 2020-07-03 小小八

一、操作过程：tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的 Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和 对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

1.数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。

2.堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。

3.当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。

4.每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。

5.继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

 二、操作原理：由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

1.Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。

2.可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。

3.这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。

4.强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。

5.如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

上面的原理完美的证明了Tarjan算法的可行性和正确性。至于这些原理的证明？【一脸茫然...】仔细想想，这些好像都是显然的.....

所以，证明完成.(●‘?‘●)

三、伪代码：

tarjan(u) {

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u) // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找

　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (v in S) // 如果节点v还在栈内

　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　　　 repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　　　 print v

　　　　until (u== v) } 

　　

四、来个例子吧，出自集训队资料图论：【强迫症截图截了好久...】

五、模板代码：

 

void tarjan(int i)
{

    　　int j;

    　　DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
    instack[i]=true;
    Stap[++Stop]=i;
    for (edge *e=V[i]; e; e=e->next)
    {
        j=e->t;
        if (!DFN[j])
        {
            tarjan(j);
            if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j];
        }
        else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j];
    }
    if (DFN[i]==LOW[i])
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=Stap[Stop--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=i);
    }
}

void solve()
{
    int i;
    Stop=Bcnt=Dindex=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    for (i=1; i<=N; i++) if (!DFN[i]) tarjan(i);
}