NOI2014动物园

Posted 2020-10-14

 这道题因为自己把1000000007写成了100000007而浪费了三个小时，所以告诫自己：数一下几位！数一下几位！数一下几位！

先贴代码~

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #define mod 1000000007 //该看眼科了... 
 4 #define LL long long
 5 int next[1000005],cnt[1000005],n;
 6 LL ans;                //cnt[i]表示前i个字符公共前后缀的数目，包括自己！也就是说cnt[i]至少为1(i!=0)（至于为什么要这样做，在（2）中解释）
 7 char s[1000005];
 8 void getcnt(int l){    //getcnt:获取常规的next[]，同时得到cnt[] ——（#）
 9     next[0]=-1;
10     cnt[0]=0;
11     int i=0,k=-1;
12     while(i<l){
13         while(k>=0&&s[k]!=s[i]) k=next[k];
14         i++,k++;
15         next[i]=k;
16         cnt[i]=cnt[k]+1;
17     }
18 }
19 void solve(int l){     //solve:大体上是再求一遍next[]的过程，每次可以得到要求的num[]，这里有两个问题： 
20     ans=1;             //1.为什么不能在最外层while每次开始的时候用k=next[i],而要再像求next[]那样求一遍,直接用不会更快吗？ ——（1）
21     int k=-1,i=0;
22     while(i<l){        //2.num[i]是怎样通过cnt[i]得到的？ ——（2）
23         while(k>=0&&s[k]!=s[i]) k=next[k];
24         k++,i++;
25         while(2*k>i) k=next[k];
26         ans=ans*(LL)(cnt[k]+1)%mod;
27     }
28     printf("%lld\n",ans);
29 }
30 int main()
31 {
32     scanf("%d",&n);
33     while(n--){
34         scanf("%s",s);
35         int l=strlen(s);
36         getcnt(l);
37         solve(l);
38     }
39 }

现在来一一解释上面的三个地方。

题目要求的是数量，自然就可以想到next[]数组的意义：最长公共前后缀长度，也就是next[i]即前i个字符的最长公共前后缀长度。

现在我们假定对i已经知道了next[i]（现在只把它看成一个数字），注意到前i个字符的前next[i]个和后next[i]个字符是相等的，我们要求的是所有的公共前后缀，既然next[i]是最长的一个，又注意到next[next[i]]是前next[i]个字符的最长公共前后缀，从而我们可以推出，前i个字符中的前next[next[i]]和后next[next[i]]个字符也是相同的。也就说，我们可以递推地求解前i个字符的公共前后缀数量，由于next[]数组的最长性质，我们保证一定可以取遍所有的公共前后缀。实际上这也是用next[]数组求解周期串问题的核心思想。

现在我们可以解答（#）了，假设我们已经知道k=next[i]（始终把next[i]看成一个数字，就像定积分是一个数字一样(逃...）和前i-1个字符每个字符的cnt[]值（这个是我们递推的依据），从而可以得到：

cnt[i]=cnt[k]+1

cnt[k]是好理解的，就是前k个字符的所有公共前后缀数量（也就是我们现在查考的前i个字符的最长公共前后缀[0,...,k-1]的公共前后缀数量），由上面的分析我们知道了，前k个字符的公共前后缀就是前i个字符的公共前后缀，再加上前i个字符本身（为什么要加自己？这样不就不满足长度不超过i/2了吗？这个问题留到（2）解答），就得到了上面的递推式，从而可以通过初始化cnt[0]=0（显然不存在前0个字符这种说法的嘛）而得到所有的cnt[i]，1<=i<=strlen(s)

下面来解答（1）和（2）这两个问题。

未完待 续……