关于异或^的用法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了关于异或^的用法 相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
转自:https://www.lijinma.com/blog/2014/05/29/amazing-xor/
什么是异或?
Wikipedia的解释:
在逻辑学中,逻辑算符异或(
exclusive or
)是对两个运算元的一种逻辑析取类型,符号为 XOR 或 EOR 或 ⊕(编程语言中常用^
)。但与一般的逻辑或不同,异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真,而另外一个的值为非真。转化为命题,就是:“两者的值不同。”或“有且仅有一个为真。”
定义:
1 ⊕ 1 = 0
0 ⊕ 0 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
真值表:
Y | B = 0 | B = 1 | |
---|---|---|---|
A = 0 | 0 | 1 | |
A = 1 | 1 | 0 |
表达式:
Y = A’ · B + A · B’
解释:我使用
·
作为与
,我使用+
作为或
,我使用‘
作为否
(本来应该使用头上一横
,但是太难编辑了,就使用了‘
);
异或有什么特性?
根据定义我们很容易获得异或
两个特性:
恒等律:
X ⊕ 0 = X
归零律:X ⊕ X = 0
然后我们使用真值表
可以证明:
(1)交换律
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因为·与
和+或
两个操作满足交换律,所以:
A ⊕ B = B ⊕ A
(2)结合律
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你可以使用同样推导方法得出(请允许我偷懒一下,数学公式敲起来不容易 +_+):
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证明过程中使用了如下几个方法(·与
+或
‘否
):
·与
+或
交换律:
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·与
+或
结合律:
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·与
+或
分配律:
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摩尔定理:
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结论:
交换律:
A ⊕ B = B ⊕ A
结合律:A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C
有了归零率
和结合律
,我们就可以轻松证明:
自反:
A ⊕ B ⊕ B = A ⊕ 0 = A
可能这些特性会很顺其自然的理解,但是如果你在解决问题的时候,你可能会忘记异或的这些特性,所以适当的应用可以让我们加深对异或的理解;
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异或有什么神奇之处(应用)?
说明:以下的的
异或
全部使用符号^
可能你已经被乱七八糟的公式和演算搞的有点烦了,不就是很简单的异或运算吗?还解释的那么复杂,嘿嘿,不要着急,打好了基础,你就站在了巨人的肩膀,让我们开始异或的神奇之旅吧;
(1)快速比较两个值
先让我们来一个简单的问题;判断两个int数字a,b是否相等,你肯定会想到判断a - b == 0
,但是如果判断a ^ b == 0
效率将会更高,但是为什么效率高呢?就把这个给你当家庭作业吧,考虑下减法是如何实现的; 让我们看看ipv6中的比较;
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(2)在汇编语言中经常用于将变量置零:xor a,a
;
(3)我们可以使用异或
来使某些特定的位翻转,因为不管是0或者是1与1做异或将得到原值的相反值;
0 ^ 1 = 1
1 ^ 1 = 0
例如:翻转10100001
的第6位, 答案:可以将该数与00100000
进行按位异或运算;10100001 ^ 00100000 = 10000001
我们给出一段常用的代码:
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(4)我们使用异或
来判断一个二进制数中1的数量是奇数还是偶数
例如:求10100001
中1的数量是奇数还是偶数; 答案:1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 1 = 1
,结果为1
就是奇数个1,结果为0
就是偶数个1; 应用:这条性质可用于奇偶校验(Parity Check),比如在串口通信过程中,每个字节的数据都计算一个校验位,数据和校验位一起发送出去,这样接收方可以根据校验位粗略地判断接收到的数据是否有误
(5)校验和恢复
校验和恢复主要利用的了异或的特性:IF a ^ b = c THEN a ^ c = b
应用:一个很好的应用实例是RAID5
,使用3块磁盘(A、B、C)组成RAID5
阵列,当用户写数据时,将数据分成两部分,分别写到磁盘A和磁盘B,A ^ B
的结果写到磁盘C;当读取A的数据时,通过B ^ C
可以对A的数据做校验,当A盘出错时,通过B ^ C
也可以恢复A盘的数据。
RAID5的实现比上述的描述复杂多了,但是原理就是使用 异或,有兴趣的同学看下RAID5
(6)经典题目:不使用其他空间,交换两个值
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这个题目就不用解释了吧,太大众题目了,哈哈,但是非常好的使用的了异或
的特性;
(7)面试题:互换二进制数的奇偶位;
题目:写一个宏定义,实现的功能是将一个int型的数的奇偶位互换,例如6的2进制为00000110
,(从右向左)第一位与第二位互换,第三位与第四位互换,其余都是0不需要交换,得到00001001
,输出应该为9;
思路:我们可以把我们的问题分为三步(难道这也是分治法吗 -。-),第一步,根据原值的偶数位获取到目标值的奇数位,并把不需要的位清零;第二步,根据原值的奇数位获取到目标值的偶数位,并把不需要的位清零;第三步:把上述两个残缺的目标值合并成一个完整的目标值;
代码为:
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解释: 1.为简化说明,我们以4位二进制码为例,0xAAAA 我们用 1010 代替;0x5555 我们用 0101 代替; 2.(n<<1)&(1010) 把n先左移1位,再与1010做与运算,只保留移位之后的偶数位的值,奇数位全为0,实际上是只保留了n的奇数位的值,并把它们交换到了偶数位上。比如 n = 0110 , n<<1 = 1100, (n<<1) & 1010 = 1000 ; 3.(n>>1)&(0101) 把n右移一位,再与 0101 做与运算,只保留移位之后的奇数位的值,偶数位全为0,实际是只保留n 的偶数位的值,并把它们交换到对应的奇数位上。n = 0110; n>>1 = 0011; (n>>1) & 0101 = 0001; 4.最后做或运算(相加),得到1001。
(7)最最常出现的面试题:一个整型数组里除了N个数字之外,其他的数字都出现了两次,找出这N个数字;
比如,从{1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 4, 5}
中找出单个的数字: 1
让我们从最简单的,找一个数字开始;
题目:(LeetCode 中通过率最高的一道题) Single Number: Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one. Note:Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory? 思路: 拿到这个题目,本能的你会使用排序(数字文字我们常常需要排序),排序后可以来判断是否数字成对出现,思路很明显,但是排序的算法上限是 O(nlogn),不符合题目要求;
学习了强大的异或
,我们可以轻松的使用它的特性来完成这道题目: (1)A ^ A = 0; (2)异或满足交换律、结合律; 所有假设有数组:A B C B C D A
使用异或:
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是不是很神奇?时间复杂度为O(n)
,当然是线性的,空间复杂度O(1)
;
代码:
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接下来让我们增加一些难度:
题目:一个整型数组里除了两
个数字之外,其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字?
思路: 第一步:肯定还是像我们上面的解法一样,所有数进行异或
,不过最终得到的结果是 a 和 b(假设 a 和 b 是落单的数字)两个值的异或结果 aXORb,没有直接得到 a 和 b 的值;
第二步:想办法得到 a 或者 b,假设 aXORb 为 00001001
(F肯定不为0),根君 aXORb 的值我们发现,值为1的位
(比如从右向左第一位)表示在此位上 a 和 b 的值不同;所以,根据这个特点,我们找出来所有第一位为1的数进行异或,得到的就是 a 或者 b;
第三步:aXORb = a ^ b,假设我们已经找到了 a,根据异或
特性,我们知道,b = aXORb ^ a;这样我们就可以找出 b;所以我们只需要循环两次;
这样我们的时间复杂度是 O(n),空间复杂度是 O(1) 代码:
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接下来让我们再增加一些难度:
题目:一个整型数组里除了三
个数字之外,其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字?
思路:
第一步:肯定还是像我们上面的解法一样,所有数进行异或
,不过最终得到的结果是 a、b 和 c(假设 a、b 和 c 是落单的数字)三个值的异或结果 aXORbXORc,没有直接得到 a、b 和 c 的值;
第二步:想办法得到 a、b 和 c 中的一个,让偶们把问题简化一下;
假设一个数组中有3个不同的数字 a、b 和 c,已知 aXORbXORc = a ^ b ^ c ,求 a、b 和 c 。
思路: 1. 根据题目 aXORbXORc ^ a = b ^ c; aXORbXORc ^ b = a ^ c; aXORbXORc ^ c = a ^ b; 因为:(b ^ c) ^ (a ^ c) ^ (a ^ b) = 0; 所以:(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0;
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下一步是关键: 假设 X ^ Y ^ Z = 0,则 X Y Z 三个数的低位第一位为1的位置两个相同,一个不同; 比如 X: 00001000, Y: 00000100, Z: 00001100 Y和Z的低位第一位都是00000100, X的低位第一位是00001000; 这一步可以使用倒推法证明: 已知:三个数的低位第一位为1的位置有三种情况,一种就是全相同,一种就是两个不同,一个不同,一种就是三个不同; (1)如果是全相同,则 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 1 ^ 1 = 1),与前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾,不成立; (2)如果三个不同,则 X ^ Y ^ Z != 0 (1 ^ 0 ^ 0 = 1),与前提X ^ Y ^ Z = 0矛盾,不成立; 所以结果是:两个不同,一个不同
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(aXORbXORc ^ a) ^ (aXORbXORc ^ b) ^ (aXORbXORc ^ c) = 0; 所以三个数(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c) 的低位第一位为1的位置两个相同,一个不同;那么我们获取到这三个数的低位第一位为1的位置后,进行异或并取低位第一位为1的位置,就可以找到三个中“一个不同”的低位第一位为1的位置,假设这个值为 firstOneBit。
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遍历这三个数(aXORbXORc ^ a)、(aXORbXORc ^ b) 和 (aXORbXORc ^ c),如果发现某个数异或 aXORbXORc 等于 firstOneBit,这个数就是“一个不同”的那个数;
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找到了一个数,剩下的两个数,我们就可以通过上面的方法找出来;
第三步:完成了第二步的简化题,我们回到我们的问题,我们的问题比简化的问题多了一个成对的干扰数据,我们可以使用异或要去除干扰数据(记住,我们这个题目都是用异或i去除干扰数据的);
这样我们的时间复杂度还是 O(n),空间复杂度是 O(1)
代码如下:
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