一些常用的数学递推式

Posted 2020-10-14 Na_OH

错排公式：

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n。

比如说：如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况。

D₍₁₎=0,D₍₂₎=1,D_(n)=(n-1)*(D_(n-1)+D_(n-2))

证明：

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

wiki:   https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98