bzoj3717[PA2014]Pakowanie 状压dp

Posted 2020-10-14 GXZlegend

题目描述

你有n个物品和m个包。物品有重量，且不可被分割；包也有各自的容量。要把所有物品装入包中，至少需要几个包？

输入

第一行两个整数n,m(1<=n<=24,1<=m<=100)，表示物品和包的数量。
第二行有n个整数a[1],a[2],…,a[n](1<=a[i]<=10^8)，分别表示物品的重量。
第三行有m个整数c[1],c[2],…,c[m](1<=c[i]<=10^8)，分别表示包的容量。

输出

如果能够装下，输出一个整数表示最少使用包的数目。若不能全部装下，则输出NIE。

样例输入

4 3
4 2 10 3
11 18 9

样例输出

2

---

题解

状压dp

首先如果有解，则最多使用 $n$ 个背包，即背包数目是 $n$ 级别的，而且一定是优先选择容量最大的背包。

而按照一定的顺序装包时，选择数目较少的背包一定更优。

因此对所有背包按照容量从大到小排序，设 $f[i]$ 表示装集合 $i$ 的物品最少需要使用多少个背包， $g[i]$ 表示使用最少背包的情况下最大的剩余容量。

于是可以直接枚举每次选择的是什么物品，判断装的情况即可。

注意判断无解的情况。

时间复杂度 $O(2^n·n)$ ，由于实现有90s因此可以通过本题。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[24] , c[100] , f[1 << 24] , g[1 << 24];
bool cmp(int a , int b)
{
	return a > b;
}
int main()
{
	int n , m , i , j;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
	for(i = 0 ; i < m ; i ++ ) scanf("%d" , &c[i]);
	sort(c , c + m , cmp);
	memset(f , 0x3f , sizeof(f)) , f[0] = -1;
	for(i = 1 ; i < (1 << n) ; i ++ )
	{
		for(j = 0 ; j < n ; j ++ )
		{
			if(i & (1 << j))
			{
				if(g[i ^ (1 << j)] >= a[j] && (f[i ^ (1 << j)] < f[i] || (f[i ^ (1 << j)] == f[i] && g[i ^ (1 << j)] - a[j] > g[i])))
					f[i] = f[i ^ (1 << j)] , g[i] = g[i ^ (1 << j)] - a[j];
				if(f[i ^ (1 << j)] + 1 < m && c[f[i ^ (1 << j)] + 1] >= a[j] && (f[i ^ (1 << j)] + 1 < f[i] || (f[i ^ (1 << j)] + 1 == f[i] && c[f[i ^ (1 << j)] + 1] - a[j] > g[i])))
					f[i] = f[i ^ (1 << j)] + 1 , g[i] = c[f[i ^ (1 << j)] + 1] - a[j];
			}
		}
	}
	if(f[(1 << n) - 1] == 0x3f3f3f3f) puts("NIE");
	else printf("%d\n" , f[(1 << n) - 1] + 1);
}