RMQ

Posted 2020-10-13

解决RMQ（Range Minimum/Maximum Query）即区间最大最小值问题。

有一个离线算法（ST算法），这个算法是很高效了，时间是O（nlogn）：（用O（nlogn）的时间进行预处理，再用O（1）的时间进行区间查询）

1.先是预处理（用动态规划解决）

　A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

首先，DP的初始值，即第一次时，每次都是自己本身：F[i,0] = A[i]。

然后是动态转移方程 F[ i ][ j ] = max ( F[ i ] [ j-1 ], F[ i + 2^( j - 1 ) ] [ j - 1 ])；

代码：

 1 void RMQ(int num) //预处理->O(nlogn)  
 2 {
 3     //初始化
 4     for (int i = 1; i <= num; i++){
 5         minsum[i][0] = a[i];
 6         maxsum[i][0] = a[i];
 7     }
 8 
 9     for (int j = 1; j < 25; j++)
10     for (int i = 1; i <= num; i++)
11     if (i + (1 << j) - 1 <= num)
12     {
13         maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
14         minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
15     }
16 }

其中 i 和 j 的位置不能变，因为是先更新 1 个元素，再更新两个，四个.....等元素，以此类推更新所有长度的最值。

2.查询

 1 //查询
 2 int getmin(int x, int y){
 3     int k = (int)(log((double)(y - x + 1)) / log(2.0));
 4     return min(minsum[x][k], minsum[y - (1 << k) + 1][k]);
 5 }
 6 
 7 int getmax(int x, int y){
 8     int k = (int)(log((double)(y - x + 1)) / log(2.0));
 9     return max(maxsum[x][k], maxsum[y - (1 << k) + 1][k]);
10 }

对于需要查询的区间[ x, y]，区间的差值为 len = y - x + 1;

那么查询的时候 设此时的 j 是 k，那么在查询时，需要 x -- x + 2^k -1 和 y - 2^k + 1 -- y之间，此时就要找到合适的K值。

1 int k=0;  
2     while((1<<(k+1))<=y-x+1)  
3         k++;  

用这个方法找也可以，不过有个更快捷的 k=log2( y - x + 1) 直接进行取值。