博弈论

Posted 2020-10-13 白丁一枚

一、巴什博弈（Bash Game）

      只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。

      考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。

      进一步我们发现 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个

      n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。

      因此，此时先手有必赢策略。

      相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        if (n%(m+1) != 0)
          printf("先取者赢\n");
        else
          printf("先取者输\n");
    }
} 

二、尼姆博弈(Nimm Game)

所有物品数目二进制异或    为0，则先手必输
所有物品数目二进制异或不为0，则后手必输

1、问题模型：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

2、解决思路：用（a，b，c）表示某种局势，显证（0，0，0）是第一种奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。

  搞定这个问题需要把必败态的规律找出：(a,b,c)是必败态等价于a^b^c=0(^表示异或运算）。

  证明:(1)任何p(a,b,c)=0的局面出发的任意局面(a,b,c’);一定有p(a,b,c’)不等于0。否则可以得到c=c’。

      （2）任何p(a,b,c)不等于0的局面都可以走向 p(a,b,c)=0的局面

       (3）对于 (4,9,13) 这个容易验证是奇异局势 

             

       其中有两个8，两个4，两个1，非零项成对出现，这就是尼姆和为  零的本质。别人要是拿掉13里的8或者1，那你就拿掉对应的9  中的那个8或者1；别人要是拿        掉13里的4，你就拿掉4里的4；  别人如果拿掉13里的3，就把10作分解，然后想办法满 足非零项成对即可。

3、推广一：如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a^b,即可,因为有如下的运算结果: a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0^0=0。要将c 变为a^b，只从 c中减去 c-（a^b）

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    int arr[10];
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
      scanf("%d", &arr[i]);
    int ans = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    ans ^= arr[i];
  if (ans)
    printf("先取者赢\n");
  else
    printf("先取者输\n");
} 

三、威佐夫博奕

https://baike.baidu.com/item/%E5%A8%81%E4%BD%90%E5%A4%AB%E5%8D%9A%E5%BC%88/19858256?fr=aladdin

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
  int n, m;
  while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
      if (n < m) swap(n, m);
        int k = n-m;
        n = (int)(k*(sqrt(5)+1)/2.0) 
        if (n!=m)
      printf("先取者赢\n");
    else
      printf("先取者输\n");
    }
}