洛谷P3379 模板最近公共祖先（LCA）

Posted 2020-10-13 沐灵_hh

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含三个正整数N、M、S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y，表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来M行每行包含两个正整数a、b，表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式：

输出包含M行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

输出样例#1： 复制

4
4
1
4
4

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=10，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：2、4的最近公共祖先，故为4。

第二次询问：3、2的最近公共祖先，故为4。

第三次询问：3、5的最近公共祖先，故为1。

第四次询问：1、2的最近公共祖先，故为4。

第五次询问：4、5的最近公共祖先，故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。

分析

树上倍增求lca大家应该都懂，树上倍增求lca灵活好写。这里主要讲一下tarjan算法求LCA，该算法巧妙的利用了深度优先搜索的性质，并且时间很快，对于运输计划这种卡常严重的题目tarjan算法应该可以卡过去吧。

tarjan算法的具体做法：

1.访问u的所有子节点v。

2.将v合并到u上(用并查集实现)。

3.访问和u有关的询问q。

4.如果如果q被访问过，u，q的最近公共祖先是为find(q)；

这个要是解释为什么的话不是很好解释，建议自己画个图，模拟一下dfs的过程，应该就能理解了。

树上倍增

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500000+5;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘)f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,s,num;
int f[maxn][30],head[maxn],dep[maxn];
bool vis[maxn];
struct node
{
    int next,to;
}e[maxn<<1];
inline void add(int from,int to)
{
    e[++num].next=head[from];
    e[num].to=to;
    head[from]=num;
}
inline void dfs(int x,int d)
{
    vis[x]=1;dep[x]=d;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(!vis[to])
        {
            f[to][0]=x;
            dfs(to,d+1);
        }
    }
}
inline int lca(int a,int b)
{
    if(dep[a]<dep[b]){int t=a;a=b;b=t;}
    int d=dep[a]-dep[b];
    for(int i=20;i>=0;i--)
    if(d&(1<<i)) a=f[a][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;i--)
    if(f[a][i]!=f[b][i])
    {
        a=f[a][i];
        b=f[b][i];
    }
    return f[a][0];
}
int main()
{
    n=read();m=read();s=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        x=read();y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs(s,1);
    for(int j=1;j<=20;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,ans;
        a=read();b=read();
        ans=lca(a,b);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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tarjan算法(貌似vector有大约两倍的常数)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=500010;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,s,tot,qtot;
int head[N],father[N],ans[N]; bool vis[N];
vector<pair<int,int> >q[N];
struct node{
    int next,to;
}e[N*2];
inline void ins(int from,int to){
    e[++tot].next=head[from];
    e[tot].to=to; head[from]=tot;
}
int find(int x){
    if(x!=father[x]) father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}
inline void merge(int x,int y){
    int r1=find(x),r2=find(y);
    if(r1!=r2) father[r1]=r2;
}
void tarjan(int x){
    vis[x]=true;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    if(!vis[e[i].to]){
        tarjan(e[i].to);
        merge(e[i].to,x);
    }
    for(int i=0;i<q[x].size();++i)
    if(vis[q[x][i].fi]) ans[q[x][i].se]=find(q[x][i].fi);
}    
int main(){
    n=read();m=read();s=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) father[i]=i;
    for(int i=1;i<n;++i){
        int u=read(),v=read();
        ins(u,v); ins(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x=read(),y=read();
        q[x].pb(make_pair(y,i));
        q[y].pb(make_pair(x,i));
    }
    tarjan(s);
    for(int i=1;i<=m;++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}
    

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