YYHS-蜀传之单刀赴会（梦回三国系列T2）（最短路+状压dp）

Posted 2020-10-13 I__am

题目描述

【题目背景】

公元215年，刘备取益州，孙权令诸葛瑾找刘备索要荆州。刘备不答应，孙权极为恼恨，便派吕蒙率军取长沙、零陵、桂阳三郡。长沙、桂阳蜀将当即投降。刘备得知后，亲自从成都赶到公安(今湖北公安)，派大将关羽争夺三郡。孙权也随即进驻陆口，派鲁肃屯兵益阳，抵挡关羽。双方剑拔弩张，孙刘联盟面临破裂，在这紧要关头，鲁肃为了维护孙刘联盟，不给曹操可乘之机，决定当面和关羽商谈。“肃邀羽相见，各驻兵马百步上，但诸将军单刀俱会”。双方经过会谈，缓和了紧张局势。随后，孙权与刘备商定平分荆州，“割湘水为界，于是罢军”，孙刘联盟因此能继续维持。

 

【问题描述】

关羽受鲁肃邀请，为了大局，他决定冒险赴会。他带着侍从周仓，义子关平，骑着赤兔马，手持青龙偃月刀，从军营出发了，这就是历史上赫赫有名的“单刀赴会”。关羽平时因为军务繁重，决定在这次出行中拜访几个多日不见的好朋友。然而局势紧张，这次出行要在限定时间内完成，关公希望你能够帮助他安排一下行程，安排一种出行方式，使得从军营出发，到达鲁肃处赴会再回来，同时拜访到尽可能多的朋友，在满足这些条件下行程最短。注意拜访朋友可以在赴会之前，也可以在赴会之后。现在给出地图，请你完成接下来的任务。

 

输入

   第一行n,m,k,t,代表有n个地点，m条道路,有k个朋友(不包括鲁肃)，以及限定时间t(行走1单位长度的路程用时1单位时间)。

    接下来m行，每行有x,y,w三个整数，代表x和y之间有长度为w的道路相连。

    接下来一行有k个整数，代表朋友所在的都城编号(保证两两不同，且不在1和n)

   （我们约定1是关羽的营地，n是鲁肃的营地）

 

输出

输出两个整数，分别是最多可以拜访的朋友数，以及在这种情况下最少需要耗费的时间，如果连到达鲁肃再回来都无法完成，输出一个-1就可以了。

 

样例输入

5 7 2 15 1 2 5 1 3 3 2 3 1 2 4 1 3 4 4 2 5 2 4 5 3 2 4

样例输出

2 14

提示

 

【数据规模和约定】

有10%数据，n<=10,m<=50,k<=5;

有10%数据,k=0;

有10%数据,k=1;

另30%数据，k<=5;

对于100%数据，n<=10000,m<=50000,k<=15,t<=2147483647,w<=10000

 

题解

这道题应该是这一系列里最难的一道了

我们观察到k很小，不难想到状压dp

dp[i][j]表示状态为i，最后到达的点为j的最少时间

转移方程不难想到，我们枚举当前状态最后到达的点j，再枚举未来状态最后到达的点l，判断一下当前状态里包不包含l，如果不包含，dp[i|(1<<(l-1))][l]=min(dp[i|(1<<(l-1))][l],dp[i][j]+dist[j][l])；

不过这里有一个小疑问就是dist[j][l]之间有一个另外的朋友经过了怎么办，这样不是没有记录么，其实我刚开始也是这样想的，但是其实我们状态都会枚举，不会有错

那么我们要怎么求dist[j][l]呢？

我们先把地点1加入到要访问的朋友里，再把地点n加入到朋友里

最后我们加一个n+1点，作为最后回到1的点（注意我们的k已经加了3了）

我们跑k-2遍最短路，把两两朋友之间的最小距离算出来

最后枚举一下状态判断dp[i][k]是否<=t且i&(1<<(k-2))（判断到达点n）就可以啦

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define N 10005
 3 #define M 50005
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 int n,m,k,t,tot,x,y,z,num,ans;
 7 int head[N],dis[N];
 8 int p[20];
 9 bool flag[N];
10 int dist[20][20];
11 ll dp[265005][20];
12 struct node{
13     int next,to,dis;
14 }e[2*M];
15 void add(int x,int y,int z){
16     e[++tot].next=head[x];
17     head[x]=tot;
18     e[tot].to=y;
19     e[tot].dis=z;
20 }
21 queue<int> q;
22 void spfa(int x,int id){
23     for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e9,flag[i]=false;
24     dis[x]=0; flag[x]=true;
25     q.push(x);
26     while (!q.empty()){
27         int u=q.front();
28         q.pop();
29         for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
30             int v=e[i].to;
31             if (dis[v]>dis[u]+e[i].dis){
32                 dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
33                 if (!flag[v]){
34                     q.push(v);
35                     flag[v]=true;
36                 }
37             }
38         }
39         flag[u]=false;
40     }
41     for (int i=1;i<=k-1;i++)
42         dist[id][i]=dis[p[i]];
43     dist[id][k]=dis[1];
44 }
45 int main(){
46     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&t);
47     for (int i=1;i<=m;i++)
48         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
49     p[1]=1; k++;
50     for (int i=2;i<=k;i++) scanf("%d",&p[i]);
51     p[++k]=n; k++;
52     for (int i=1;i<=k-1;i++) spfa(p[i],i);
53     for (int i=1;i<=k-1;i++) dist[k][i]=dist[1][i];
54     for (int sta=0;sta<=(1<<k)-1;sta++)
55         for (int j=1;j<=k;j++) dp[sta][j]=1e18;
56     dp[1][1]=0;
57     for (int sta=1;sta<=(1<<k)-1;sta++)
58         for (int j=1;j<=k;j++)
59             for (int l=1;l<=k;l++)
60                 if (!(sta&(1<<(l-1))))
61                     dp[sta|(1<<(l-1))][l]=min(dp[sta|(1<<(l-1))][l],dp[sta][j]+dist[j][l]);
62     num=-1; ans=1e9;
63     for (int sta=0;sta<=(1<<k)-1;sta++)
64         if (dp[sta][k]<=t&&(sta&(1<<(k-2)))){
65             int x=sta,tot=0;
66             while (x) x-=(x & (-x)),tot++; 
67             tot-=3;
68             if (tot>num) num=tot,ans=dp[sta][k]; else
69             if (tot==num&&dp[sta][k]<ans) ans=dp[sta][k];
70         }
71     if (num==-1) puts("-1");
72         else printf("%d %d\n",num,ans);
73     return 0;
74 }

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