树状数组

Posted 2020-10-13

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奇妙的数据结构。

　　常用于 单点修改、区间查询。也可以通过某些手段进行 区间修改、单点查询。

　　本篇主要讨论后者。

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讨论之前，先上一下单点修改、区间查询的代码：

 struct Node {
	int tree[MAXN];
	void add(int x, int v) {
		while (x <= n) {
			tree[x] += v;
			x += x&(-x);
		}
	}
	int sum(int k) {
		int ans = 0;
		while (k) {
			ans += tree[k];
			k -= k & (-k);
		}
		return ans;
	}
} T;

————准备材料———————————————————————————————————————————————————————————

　　原数组a，和它的差分数组 C 。

————制作过程———————————————————————————————————————————————————————————

区间修改

　　树状数组的修改并没有真正修改原数组的数，只是利用各种玄学得到修改后的那个结果 。

　　a[ n ] = c[ 1 ] + c[ 2 ] + ... + c[ n ]     （不懂的话，自己举个例子试试）

　　对a中的某一段连续的区间[l,r]进行修改时，c数组中只有c[l]和c[r + 1]改变。
　　也就是说，要进行对[l, r]的修改，实际上改变c[l]，c[r + 1]两个值即可。　　

区间修改[l,r]+=v:

add(c[l],v),add(c[r+1],-v);　　　　　　　　add(c2[l],(l-1)v),add(c2[r+1],-rv);

 

区间查询

　　考虑普通做法中，维护一个前缀和数组sum。求[l, r]一段的区间和只要求 sum[r] - sum[l - 1] 即可，推一推可以知道

 

1 sum[n] = a[1] + a[2] + ... + a[n]
2 　　　　= c[1] + (c[1] + c[2]) + ... + (c[1] + c[2] + ... + c[n])
3 　　　　= n * (c[1] + ... + c[n]) - (0 * c[1] + 1 * c[2] + ... + (n - 1)*c[n])

　　现在问题就变成了求 (c[1] + ... + c[n]) 和 (0 * c[1] + 1 * c[2] + ... + (n - 1)*c[n]) 。

　　再开一个数组 c2，c2[ i ] = c[ i ] *（i - 1）。

 

求前缀和sum(1,n):

sum(1,n)=n*query_c(n)-query_c2(n).

求区间和sum(l,r):

sum(l,r)=sum(r)-sum(l-1).