洛谷P1471 方差

Posted 2020-10-13

洛谷P1471 方差

题目背景

滚粗了的HansBug在收拾旧数学书，然而他发现了什么奇妙的东西。

题目描述

蒟蒻HansBug在一本数学书里面发现了一个神奇的数列，包含N个实数。他想算算这个数列的平均数和方差。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含两个正整数N、M，分别表示数列中实数的个数和操作的个数。

第二行包含N个实数，其中第i个实数表示数列的第i项。

接下来M行，每行为一条操作，格式为以下两种之一：

操作1：1 x y k ，表示将第x到第y项每项加上k，k为一实数。

操作2：2 x y ，表示求出第x到第y项这一子数列的平均数。

操作3：3 x y ，表示求出第x到第y项这一子数列的方差。

 

输出格式：

 

输出包含若干行，每行为一个实数，即依次为每一次操作2或操作3所得的结果（所有结果四舍五入保留4位小数）。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
1 5 4 2 3
2 1 4
3 1 5
1 1 1 1
1 2 2 -1
3 1 5

输出样例#1：

3.0000
2.0000
0.8000

说明

样例说明：

数据规模：

 

 

题解：看到这种N,M≤100000的数据范围，想必是要用O(Mlog₂N)的方法来做的了。

很显然，这个题目有区间修改和区间询问，因此我们用线段树来维护。

我们会发现，这题与直接维护加法和乘法的线段树有相似之处，所以本题的关键是如何维护平均数和方差。

于是这题就不如直接维护加法和乘法的线段树来的直接了，我们还要进行一些式子的推理。如果你还不熟悉线段树本身的算法，请参考模板题洛谷P3372和P3373。

根据方差的定义，我们可以展开得到如下式子：

 

从这里就可以看出我们维护区间[L,R]的区间和，就可以同时维护出平均数（因为平均数等于区间和除以区间长度）。那么我们只需要再维护区间的平方和就可以了。

该题自然还是要用懒标记的，懒标记只需要记录一个，因为修改操作只有一种。那么在下放懒标记时，怎样修改区间和与区间平方和呢？

区间和的修改自然是很简单的，与洛谷P3372和P3373的加法维护是一样的，主要是维护区间平方和。

我们可以知道，如果给一个区间的每一个数加上一个数k，平方和就会发生变化，将此变化列式展开得：

于是，新的平方和就可以通过原区间的区间和，区间长度与懒标记共同维护。

要注意，先修改区间平方和，再修改区间和。因为根据上式，区间平方和是需要借助原区间的区间和更新的。

这就是本题的要点，细节详见代码。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 const int N=100005;
 5 struct node{
 6     int l,r,len; double sum,sqrsum,lazy;
 7 }tree[N<<2];
 8 int n,m,opt,x,y;
 9 double k;
10 double sqr(double x){
11     return x*x;
12 }
13 node operator + (node a,node b)
14 {
15     node c; c.lazy=0;
16     c.l=a.l; c.r=b.r;
17     c.len=a.len+b.len;
18     c.sum=a.sum+b.sum;
19     c.sqrsum=a.sqrsum+b.sqrsum;
20     return c;
21 }
22 void build(int u,int l,int r)
23 {
24     tree[u].l=l; tree[u].r=r;
25     if (l==r)
26     {
27         scanf("%lf",&tree[u].sum);
28         tree[u].sqrsum=sqr(tree[u].sum);
29         tree[u].len=1; tree[u].lazy=0;
30         return;
31     }
32     int mid=(l+r)>>1;
33     build(u<<1,l,mid);
34     build(u<<1|1,mid+1,r);
35     tree[u]=tree[u<<1]+tree[u<<1|1];
36 }
37 void push_down(int u)
38 {
39     if (tree[u].lazy)
40     {
41         tree[u<<1].sqrsum+=tree[u<<1].len*sqr(tree[u].lazy)+2*tree[u].lazy*tree[u<<1].sum;
42         tree[u<<1|1].sqrsum+=tree[u<<1|1].len*sqr(tree[u].lazy)+2*tree[u].lazy*tree[u<<1|1].sum;
43         tree[u<<1].sum+=tree[u<<1].len*tree[u].lazy;
44         tree[u<<1|1].sum+=tree[u<<1|1].len*tree[u].lazy;
45         tree[u<<1].lazy+=tree[u].lazy;
46         tree[u<<1|1].lazy+=tree[u].lazy;
47         tree[u].lazy=0;
48     }
49 }
50 void change(int u,int l,int r,double v)
51 {
52     if (tree[u].l==l&&tree[u].r==r)
53     {
54         tree[u].lazy+=v;
55         tree[u].sqrsum+=tree[u].len*sqr(v)+2*v*tree[u].sum;
56         tree[u].sum+=tree[u].len*v;
57         return;
58     }
59     int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>1;
60     push_down(u);
61     if (r<=mid) change(u<<1,l,r,v);
62     else if (l>mid) change(u<<1|1,l,r,v);
63     else change(u<<1,l,mid,v),change(u<<1|1,mid+1,r,v);
64     tree[u].sum=tree[u<<1].sum+tree[u<<1|1].sum;
65     tree[u].sqrsum=tree[u<<1].sqrsum+tree[u<<1|1].sqrsum;
66 }
67 node query(int u,int l,int r)
68 {
69     if (tree[u].l==l&&tree[u].r==r) return tree[u];
70     int mid=(tree[u].l+tree[u].r)>>1;
71     push_down(u);
72     if (r<=mid) return query(u<<1,l,r);
73     if (l>mid) return query(u<<1|1,l,r);
74     return query(u<<1,l,mid)+query(u<<1|1,mid+1,r);
75 }
76 int main()
77 {
78     scanf("%d%d",&n,&m);
79     build(1,1,n);
80     for (int i=1;i<=m;++i)
81     {
82         scanf("%d",&opt);
83         if (opt==1) scanf("%d%d%lf",&x,&y,&k),change(1,x,y,k);
84         if (opt==2)
85         {
86             scanf("%d%d",&x,&y);
87             node tmp=query(1,x,y);
88             printf("%0.4lf\\n",tmp.sum/tmp.len);
89         }
90         if (opt==3)
91         {
92             scanf("%d%d",&x,&y);
93             node tmp=query(1,x,y);
94             double ave=tmp.sum/tmp.len;
95             printf("%0.4lf\\n",sqr(ave)+(tmp.sqrsum-2*ave*tmp.sum)/tmp.len);
96         }
97     }
98     return 0;
99 }

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