Hamilton四元数

Posted 2020-10-13 数学后花园

我们知道$\mathbb C$可以看做是$2$元数,再来看四元数$\mathbb H$,他的基是$1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$,并且按照下面的乘法表运算

	$1$	$\mathbf i$	$\mathbf j$	$\mathbf k$
$1$	$1$	$\mathbf i$	$\mathbf j$	$\mathbf k$
$\mathbf i$	$\mathbf i$	$-1$	$\mathbf k$	$\mathbf -j$
$\mathbf j$	$\mathbf j$	$\mathbf -k$	$-1$	$\mathbf i$
$\mathbf k$	$\mathbf k$	$\mathbf j$	$\mathbf -i$	$-1$

由乘法表可以看出$\mathbb H$是一个非交换的结合代数.$\mathbb H$的每个元素类似于复数域$\mathbb C$可被唯一表示成$$\mathbf q=\alpha+\beta\mathbf i+\gamma\mathbf j+\sigma\mathbf k$$其中$\alpha,\beta,\gamma,\sigma\in\mathbb R$.可以类似的定义共轭四元数的概念$$\overline{\mathbf q}=\alpha-\beta\mathbf i-\beta\mathbf j-\sigma\mathbf k$$我们不难验证非零的四元数$\mathbb H^*:=\mathbb H\setminus \{0\}$具有群的结构,并且构成无限阶的非交换群,其幺元是$1$.称为四元数代数乘法群.

如果只考虑那些生成元,还可以得到一个更简单的群$$\mathbb Q_8=\{\pm 1,\pm\mathbf i,\pm\mathbf j,\pm\mathbf k\}$$同样的按照上面的乘法表运算也构成一个$8$阶非交换群。

类似于$\mathbb C$,我们还可以定义四元数$\mathbf q$的模长的概念$$|\mathbf q|^2:=\mathbf q\cdot\mathbf q^*=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\sigma^2$$如果我们把四元数对应其共轭看做是一个映射$\pi:\mathbf q\to\overline{\mathbf q}$,利用如下共轭的运算律\begin{align*}\overline{\left(k\mathbf q_1+l\mathbf q_2\right)}&=k\overline{\mathbf q}+l\overline{\mathbf q_2}\\\overline{\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2}&=\overline{\mathbf q_2}\overline{\mathbf q_1}\\|\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2|&=|\mathbf q_1|\cdots|\mathbf q_2|\end{align*}显然$\pi$是$\mathbb H$的一个反自同构.而映射$\phi:\mathbf q\to|\mathbf q|$是乘法群$\mathbb H^*$到乘法群$\mathbb R^*$的一个同态,同态核$$\mathrm{Ker}\phi:=\{\mathbf q\in\mathbb H:|\mathbf q|=1\}\leq \mathbb H^*$$称为辛群(也就是那些模长为$1$的四元数关于乘法构成的群).