UVa 1374 - Power Calculus——［迭代加深搜索快速幂］

Posted 2020-07-02 kiraa

解题思路：

　　这是一道以快速幂计算为原理的题，实际上也属于求最短路径的题目类型。那么我们可以以当前求出的幂的集合为状态，采用IDA＊方法即可求解。问题的关键在于如何剪枝效率更高。笔者采用的剪枝方法是：

　　1）如果当前状态幂集合中的最大元素max满足 max＊2^（maxd－cur_d）<n，则剪枝。原因是：在每一次状态转移后，max最多增大一倍。（maxd－cur_d）次转移之后，max最多变成原来的2^（maxd－cur_d）倍，然而如果当前状态的极限情况下仍有max<n，则当前状态结点一定无法出解。

　　2）解的幂集合中最多只有一个元素比目标n大。

采用反证法，证明如下：

　　假设解的幂集合中存在m2>m1>n ，那么必然存在从m2到达m1的路径p1，和从m1到达n的路径p2（否则与假设矛盾）。

　　设路径p1花费步数s1，路径p2花费步数s2，那么从m2到达n的步数为s3=s2＋s1>s2。

　　然而由于我们采用IDA＊算法，由于s2<s3，路径p2会先被找到，当前状态不会出现，产生矛盾，得证。

有了以上优化思路，代码效率将会极大提高。

代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <ctime>
 6 #include <set>
 7 #include <algorithm>
 8 
 9 using namespace std;
10 #define time__ printf("time : %f\n",double(clock())/CLOCKS_PER_SEC)
11 
12 int tar_n;
13 int power[3000+5];
14 vector<int> S;
15 int maxd;
16 int S_upper_n(){
17     int cnt=0;
18     for(int i=0;i<S.size();i++)
19         if(S[i]>tar_n) cnt++;
20     return cnt;
21 }
22 bool dfs(int d){
23     if(d==maxd){
24         if(power[tar_n]) return true;
25         else return false;
26     }
27     int S_max=0;
28     for(int i=0;i<S.size();i++)
29         S_max=max(S_max,S[i]);
30     if(((S_max)<<(maxd-d))<tar_n||S_upper_n()>1)
31         return false;
32     for(int i=S.size()-1;i>=0;i--){
33         int t;
34         t=S[S.size()-1]+S[i];
35         if(power[t]==0){
36             S.push_back(t);
37             power[t]=1;
38             if(dfs(d+1)) return true;
39             S.pop_back();
40             power[t]=0;
41         }
42         t=S[S.size()-1]-S[i];
43         if(t>0&&power[t]==0){
44             S.push_back(t);
45             power[t]=1;
46             if(dfs(d+1)) return true;
47             S.pop_back();
48             power[t]=0;
49         }
50     }
51     return false;
52 }
53 bool solve(){
54     memset(power, 0, sizeof power);
55     S.clear();
56     S.push_back(1);
57     power[1]=1;
58     if(dfs(0))
59         return true;
60     return false;
61 }
62 int main() {
63     while(scanf("%d",&tar_n)&&tar_n){
64         maxd=0;
65         int temp=1;
66         while(temp<tar_n){
67             maxd++;
68             temp+=temp;
69         }
70         for(;;maxd++)
71             if(solve()){
72                 printf("%d\n",maxd);
73                 //time__;
74                 break;
75             }
76     }
77     //time__;
78     return 0;
79 }