[USACO06DEC]最少的硬币The Fewest Coins

Posted 2020-10-13 SAKURA12

题目描述

约翰在镇上买了 T 元钱的东西，正在研究如何付钱。假设有 N 种钞票，第 i 种钞票的面值为 Vi，约翰身上带着这样的钞票 Ci 张。商店老板罗伯是个土豪，所有种类的钞票都有无限张。他们有洁癖，所以希望在交易的时候，交换的钞票张数尽可能地少。请告诉约翰如何恰好付掉 T 元，而且在过程中交换的货币数量最少。

输入格式

? 第一行：两个整数 N 和 T，1 ≤ N ≤ 100, 1 ≤ T ≤ 10000

? 第二行：n个整数 Vi 第三行：n个整数 Ci，1 ≤ Vi ≤ 120, 0 ≤ Ci ≤ 10000

输出格式

单个整数：表示付钱找零过程中交换的最少货币数量，如果约翰的钱不够付账，或老板没法找 开零钱，输出 ?1。

样例输入

3 70

5 25 50

5 2 1

样例输出

3

【题目 https://www.luogu.org/problemnew/show/2851】（蒟蒻不会弄链接，望大佬指点orz）

题解

易证，要求交换的货币数量最少，那么约翰付给罗伯的货币数最少，罗伯找给约翰的货币也最少。不妨分开来算。

 

设约翰身上总共有tot元钱，那么罗伯最多找给约翰tot-T元钱。现在我们知道罗伯有哪几种面值的钞票，以及他最多需要用这些钞票凑出的总额，而每种面值的钞票都有无限张，我们就可以求出罗伯凑出1~(tot-T)元钱分别需要的最少的货币数。这就是完全背包。

 

解决了罗伯，约翰也就比较简单了。

 

同样的，我们知道约翰有哪几种面值的钞票，以及每种钞票的数量，显然，约翰最多可以付tot元，和解决罗伯的方法类似，我们可以求出约翰凑出1~tot元钱分别需要的最少的货币数。多重背包出现了……

 

由于数据较大，多重背包要有二进制优化。否则会TLE！

 

还有，由于这两个背包都要恰好装满，要把数组初始化为无穷大。

 

最后，枚举约翰付的钱数，计算约翰需要付的最少货币数和罗伯需要找的最少货币数之和，求最小值。

 

#include <cstdio>
int n,T,w[105],c[105],v[1000005],g[1000005],f[1000005],t,tot,maxw;
const int inf=1e9;
int min(int x,int y)
{
    return x<=y?x:y;
}
int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d%d",&n,&T);
    for (i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&w[i]);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        tot+=w[i]*c[i];  
        if (w[i]>maxw) maxw=w[i];
    }  
    if (tot<T) 
    {
        printf("-1");
        return 0;
    }
    maxw=(maxw*maxw+T);
    for (i=1;i<1000005;i++)
      g[i]=f[i]=inf;  
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=w[i];j<=maxw;j++)
        g[j]=min(g[j],g[j-w[i]]+1);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        for (j=1;j<=c[i];j<<=1)
        {
            for (k=maxw;k>=j*w[i];k--)
              f[k]=min(f[k],f[k-j*w[i]]+j); 
            c[i]-=j;  
        }
        if (c[i])
          for (j=maxw;j>=c[i]*w[i];j--)
            f[j]=min(f[j],f[j-c[i]*w[i]]+c[i]);     
    }
    int ans=inf;
    for (i=T;i<=maxw;i++)     
      ans=min(ans,f[i]+g[i-T]);
    if (ans<inf) printf("%d",ans);
    else printf("-1");
    return 0;         
}