[luogu]P1066 2^k进制数[数学][递推][高精度]

Posted 2020-10-13

[luogu]P1066

2^k进制数

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式：

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

输出格式：

输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

输入输出样例

输入样例1#：

3 7

输出样例1#：

36

说明

NOIP 2006 提高组 第四题

---

递推性质很明显，当这位数填i时，下一位只能是（i,2^k），用一个状态f[i][j]表示第i位填j的情况，这样会超时，注意是一个连续区间一起转移，可以采用前缀和的方式：

我们就可以得到转移（从后往前做）： f[i][j]=f[i-1][(1<<k)-1]-f[i-1][j]，f[i][j]+=f[i][j-1]；

注意我们每次调用的一定比当前值大，于是我们可以省掉一维。

其实比较坑爹的还是高精度啦，可恶。

代码：

 1 //2017.11.6
 2 //递推 高精度 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll ;
 8 inline int read();
 9 int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
10 namespace lys{
11     struct gjd{
12         int a[216];
13         int len;
14         gjd(){memset(a,0,sizeof a); len=0;}
15     };
16     gjd f[1<<10+7],ans;
17     gjd add(gjd x,gjd y){
18         int l=Max(x.len,y.len);
19         int i,p=0;
20         gjd z;
21         for(i=1;i<=l;i++) z.a[i]=x.a[i]+y.a[i]+p,p=z.a[i]/10,z.a[i]%=10;
22         if(p) z.a[++l]=p;
23         z.len=l;
24         return z;
25     }
26     gjd div(gjd x,gjd y){
27         int l=x.len;
28         int i;
29         gjd z;
30         for(i=1;i<=l;i++){
31             z.a[i]=(x.a[i]-y.a[i]+10)%10;
32             if(x.a[i]<y.a[i]) x.a[i+1]--;
33         }
34         if(!z.a[l]) l--;
35         z.len=l;
36         return z;
37     }
38     int K,w;
39     int main(){
40         ans.len=1;
41         int i,j,k;
42         K=read(); w=read();
43         int n=w/K;
44         for(i=0;i<(1<<K);i++){
45             int x=i,t=0;
46             while(x){
47                 f[i].a[++t]=x%10;
48                 x/=10;
49             }
50             f[i].len=t;
51         }
52         for(i=2;i<=n;i++)
53             for(j=0;j<(1<<K);j++){
54                 f[j]=div(f[(1<<K)-1],f[j]);
55                 if(j) ans=add(ans,f[j]),f[j]=add(f[j],f[j-1]);
56             }
57         n=w%K;
58         for(i=1;i<(1<<n);i++) ans=add(ans,div(f[(1<<K)-1],f[i]));
59         for(i=ans.len;i;i--) printf("%d",ans.a[i]);
60         puts("");
61         return 0;
62     }
63 }
64 int main(){
65     lys::main();
66     return 0;
67 } 
68 inline int read(){
69     int kk=0,ff=1;
70     char c=getchar();
71     while(c<‘0‘||c>‘9‘){
72         if(c==‘-‘) ff=-1;
73         c=getchar();
74     }
75     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) kk=kk*10+c-‘0‘,c=getchar();
76     return kk*ff;
77 }