最大借书量问题

Posted 2020-10-13 Qcer

问题描述(注：该题目来自作者改编)

假设某图书馆成立10周年，为回馈VIP会员用户，设计了一个优惠活动：从纪念日起的连续的N天，VIP用户每天可免费借一定数量（由图书馆系统随机生成[1...M]之间的随机数）的书籍。同时，图书馆还有一个规定，如果某用户在第i天享受了借书优惠，那么在第i+1天不能再享受，至少要在第i+2天才能继续享受此优惠活动。

以N=7，M=10为例，某VIP用户抽到的一张优惠卡，主要信息如下：

则该用户在第一、四、七这三天去借书可以接到获得最大的借书量，为23本。

分析：

对于图书馆规定的不能在相邻两天借书，实际上等价于如下的限定条件：如果想在第i天借书，那么在第i-1天(或有)不能借书；同时，在第i+1天(或有)也不能借书。

分析其是否具有最优子结构性质，考虑问题规模为n的最大借书量C(n)，如果在第n天不借书，必然是因为在第n-1天借了书，那么C(n)必然等于C(n-1)；如果在第n天借书，那么C(n)必然等于C(n-2)加上第n天的免费借书量，最后C(n)只需要取这两种情况的最大值即可。第n天借与不借就是一个0-1决策问题，决策后，原问题的解可由子问题C(n-1)或者C(n-2)求解得到。

很容易得到该问题的递推关系（或者说所谓的状态转移方程）：

算法实现：

package agdp;
public class Books {
    public static int getMostBooks(int[] b) {//为方便计算，b数组的首项b[0]用0填充，无实际意义
        int length = b.length;
        if(length == 1){return 0;}
        int[] aux = new int[length];//辅助数组，存储子问题的解
        aux[1] = b[1];
        for (int i = 2; i < length; i++) {
            aux[i] = Math.max(aux[i-2]+b[i], aux[i-1]);//对应的在第i天借书或者不借书
        }
        return aux[length-1];
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] ary = {0,5,1,2,10,6,2,8};
        int result = getMostBooks(ary);
        System.out.println(result);
    }
}