如何求数字n的因数个数及因数和

Posted 2020-10-13 Slager_Z

我们有可能在某些数学题中会求到某个数的因数和，那我们怎么求呢？

因为我们知道任意一个合数都可以由两个或多个质数相乘得到，那么我们就先分解质因数吧

例：我们随便去一个数吧，嗯，就108了，好算。。。

我们将108质因数分解：2*2*3*3*3

　　　　　　   也就是：2^2 * 3^3

我们可以看到108的因数有2^0*3^0,2^0*3^1,2^1*3^0,2^1*3^1...

我们可以把他的分配原则画一下

                                        108的质因数

　　　　　　　　　   2             |              3

------------------------------------------|------------------------------

取（）个                    0             |              0

                                   1             |              1

                                   2             |              2

                                                  |              3

这样我们就可以轻松的看出来了：总共有3*4=12中配对方式。

假如一个数的质因数分解为a1^p1+a2^p2+......an^pn;

　　则共有(p1+1)*(p2+1)*......*(pn+1)个因数；(因为我们还可以取零啊)

但。。。如何求这些因数的和呢

　　其实很简单：就如108而言：SUM=2^0*(3^0+3^1+3^2+3^3)+2^1*(3^0+3^1+3^2+3^3)+2^2*(3^0+3^1+3^2+3^3)

　　　　　　　　　　　　　　　　　  =(2^0+2^1+2^2) * (3^0+3^1+3^2+3^3)

那么也可以得到这样一个推论：

　　若一个质数分解为a1^p1+a2^p2+......an^pn；

　　　　　那么SUM=(a1^0+a1^1+a1^2+...+a1^p1) * (a2^0+a2^1+a2^2+...+a2^p2) * ...... * (an^0+an^1+an^2+...+an^pn)

很简单，很好推，也很好证，更有用！