最大公约数和最小公倍数问题

Posted 2020-10-13 hui666

1012 最大公约数和最小公倍数问题

2001年NOIP全国联赛普及组

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 白银 Silver

题解

 

题目描述 Description

输入二个正整数x0,y0(2<=x0<100000,2<=y0<=1000000),求出满足下列条件的P,Q的个数

条件:  1.P,Q是正整数

2.要求P,Q以x0为最大公约数,以y0为最小公倍数.

试求:满足条件的所有可能的两个正整数的个数.

输入描述 Input Description

二个正整数x0,y0

输出描述 Output Description

满足条件的所有可能的两个正整数的个数

样例输入 Sample Input

3 60

样例输出 Sample Output

4

暴力求解法：

#include<iostream>
using namespace std;
int Isaccord(int x, int y, int P, int Q)
{
	for(int i = x + 1; i <= P; i++)
	{//检测是否存在比x更大的公因数 
		if(P % i == 0 && Q % i == 0)
			return 0;
	}
	for(int i = Q; i <= y - 1; i++)
	{//检测是否存在比y更小的公倍数 
		if(i % P == 0 && i % Q == 0)
		   return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	int x, y;
	while(cin >> x >> y)
	{
		int num = 0;
		int P, Q;
		for(P = x; P <= y; P++)
		{
			if(P % x == 0 && y % P == 0)//P是x的倍数，y是P的倍数 
			{
				for(Q = P; Q <= y; Q++)
			    {
				    if(Q % x == 0 && y % Q == 0)
				    {//x是P、Q的公因数，y是P、Q的公倍数 
					   if(Isaccord(x, y, P, Q))//判断是否是最大公因数，最小公倍数 
				        {
				        	if(P == Q)
				        	  num ++;
				        	else
				        	  num += 2;//P、Q可以交换值作为另一组新的值 
						}
				    }
			   }
			}
		}
		cout << num << endl;
	}
} 

　　数论初步求解算法

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int x, y;
    while(cin >> x >> y)
    {
        int num = 1;//记录不同质因数的个数再包括1，因此初始化为1 
        if(y % x != 0)//y应当是x的倍数，否则不存在符合条件的P、Q 
            cout << 0 << endl;
        else
        {
            int k = y / x;//为简化问题，将所有的数都除以x 
            int k1 = k;
            int i = 2;
            while(i <= k)
            {//当所有的数都除以x后，找出k的所有质因子的 
                if(k1 % i == 0)
                    num++;//计算不同的质因子的个数 
                while(k1 % i == 0)
                    k1 = k1 / i;
                i++;
            }
            /*比如说当k=60时，质因子为 2 , 2, 3, 5再额外加上因子1，（因为P可以等于1*x,
            此时Q=k*x），将1,2,2,3,5分成两部份，各部分的乘积分别为P,Q，2和2必定要放在一组 
            (为满足最小公倍数和最大公因数的条件)，因此不同的组合是(num - 1)*2 */ 
            cout << (num - 1) * 2 << endl;
        }
    }
}