四中矩阵相乘方法对比

Posted 2020-10-13 温酒待君归

在公茂果老师的课件中，给出了三种矩阵相乘的方法：

1. 利用矩阵定义，对矩阵进行运算。即C(i,j)=A(i,k)*B(k,j)，时间复杂度为：

• 每一个元素需时间n
• C矩阵共有n²个元素
• 因此，总的时间复杂度为n³

其实现代码为：

    tic;
    C2=zeros(n(m));
    for i=1:n(m)
        for j=1:n(m)
            for k=1:n(m)
                C2(i,j)=C2(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
            end
        end
    end
    t2(m)=toc;

 2.利用分治法进行计算。分治法的核心，在于将原问题切割，这里将原矩阵A与B，分别切割成四个子矩阵，分别得到C11，C12，C21，C22，在矩阵相乘阶段，利用的是MATLAB自带的矩阵相乘函数。

对于C11为例，其时间复杂度为：

• 每一个元素需要时间为n/2
• 共有(n/2)²个这样的元素
• 因此，其时间复杂度为(n/2)³
• 总时间为上一个的1/8

期实代码为

    A11=A(1:n(m)/2,1:n(m)/2);
    A12=A(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));
    A21=A(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);
    A22=A(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));
    B11=B(1:n(m)/2,1:n(m)/2);
    B12=B(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));
    B21=B(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);
    B22=B(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));
    %矩阵计算，开始计时
    tic;
    C3=zeros(n(m));
    C11=A11*B11+A12*B21;
    C12=A11*B12+A12*B22;
    C21=A21*B11+A22*B21;
    C22=A21*B12+A22*B22;
    C3=[C11 C12;C21 C22];
    t3(m)=toc;

 3.利用Strassen方法

上面的图片，已经给的非常的清楚，其时间复杂度为n^2.81

下面贴出完整的代码

clc;
close all;
clear all;
n=[2^2 2^3 2^4 2^5 2^6 2^7 2^8 2^9 2^10 2^11 2^12];
for m=1:11
    %%%%采用MATLAB自带函数进行矩阵相乘
    A=round(rand(n(m)));%生成随机矩阵A
    B=round(rand(n(m)));%生成随机矩阵B
    %自带函数计时
    tic;
    C1=A*B;
    t1(m)=toc;
    %按照矩阵相乘的定义进行计算
    tic;
    C2=zeros(n(m));
    for i=1:n(m)
        for j=1:n(m)
            for k=1:n(m)
                C2(i,j)=C2(i,j)+A(i,k)*B(k,j);
            end
        end
    end
    t2(m)=toc;
    %分治法,思路，对AB矩阵进行切割后，仍使用MATLAB自带的函数进行
    %步骤一，将原来的矩阵分块切割成四个,这四个子矩阵，还会用到Strassen的方法中
    A11=A(1:n(m)/2,1:n(m)/2);
    A12=A(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));
    A21=A(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);
    A22=A(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));
    B11=B(1:n(m)/2,1:n(m)/2);
    B12=B(1:n(m)/2,n(m)/2+1:n(m));
    B21=B(n(m)/2+1:n(m),1:n(m)/2);
    B22=B(n(m)/2+1:n(m),n(m)/2+1:n(m));
    %矩阵计算，开始计时
    tic;
    C3=zeros(n(m));
    C11=A11*B11+A12*B21;
    C12=A11*B12+A12*B22;
    C21=A21*B11+A22*B21;
    C22=A21*B12+A22*B22;
    C3=[C11 C12;C21 C22];
    t3(m)=toc;
    %Strassen方法，公茂果老师的课件中，已经给出了初始化方法
    tic;
    C4=zeros(n(m));
    M1=A11*(B12-B22);
    M2=(A11+A12)*B22;
    M3=(A21+A22)*B11;
    M4=A22*(B21-B11);
    M5=(A11+A22)*(B11+B22);
    M6=(A12-A22)*(B21+B22);
    M7=(A11-A21)*(B11+B12);
    C11=M5+M4-M2+M6;
    C12=M1+M2;
    C21=M3+M4;
    C22=M5+M1-M3-M7;
    C4=[C11 C12;C21 C22];
    t4(m)=toc;
end
%这里四个方法已经全部结束，接下来就是输出图片
x=log(n)/log(2)%横轴取对数
plot(x,t1,x,t2,x,t3,x,t4);
xlabel(\'log(n)/log(2)\');
ylabel(\'time\');
title(\'The comparison chart of four different methods for Matrix multiplication\')
    
 

 运行时间比较长，请耐心等待。其结果为：

 

没设置好，所以，看着不是特别清楚，可以在关键的节点处，设置*等，特别现实一下。