MATLAB 概率论题

Posted 2020-10-13 箬笠蓑衣

1、

用模拟仿真的方法求解

clc
clear
tic
n=0;
N=100000;
for ii=1:N
    b=\'MAXAM\';  %字符串格式
    a=randperm(5);  %
    b=[b(a(1)),b(a(2))];%选择两个字符，组成新的字符串
    c=randperm(2);
    if (b(1)==b(c(1))) %通过坐标来确定字符串是否一致
       n=n+1;
    end
end
rate=n/N;
time=toc
    

运行时间0.3秒，概率约等于0.6

注意，如果某一句忘了加分号，有数据一直输出的话，时间如下

可以看出时间大大增加，所以跑大数据量程序时，避免不必要的输出。

2、

有100条龙，101条凤，102条凰，他们两两随机相碰，当同种动物相碰时不发生变化，当不同动物相碰时，自身消失，变成另外的一种动物，例如龙和凤相碰，变成凰。求最后剩下动物的概率。

clc
clear
tic
c=zeros(1,101);
N=100000;
for ii=1:N
    m=100;n=101;p=102;%三种动物初始数据
    while((m~=0)&&(p~=0))&&(n>=0)%条件的设置，正常应该设置为两两为0，第三个不为零，三种情况取或
                                  %但我们经过分析后知道奇数的凤会最终留下，所以简化了条件
        a=rand;
        b=m*n+n*p+m*p;
        if ((a>=0)&(a<(m*n/b)))%通过随机数模拟两两随机的概率比例
            m=m-1;
            n=n-1;
            p=p+1;%凰加1
        elseif ((a>=(m*n/b))&((a<(m*n+n*p)/b)))
            m=m+1;
            n=n-1;
            p=p-1;%龙加1
        elseif ((a>=((m*n+n*p)/b))&((a<(m*n+n*p+m*p)/b)))
            m=m-1;
            n=n+1;
            p=p-1;%凤加1
        end
    end
    c(n)=c(n)+1;%最后剩n个凤时的个数
end
time=toc
hist(c)

 

实验100000次剩余n只凤的个数。

s=sum(c);
pro=c./s;求出概率
stem(1:20,pro(1:20),\'o\')画图
xlabel(\'凤的个数/n\')
ylabel(\'概率\')
grid on

 

3、 假设每个人的出生日期是随机的，求一个班上23个同学中至少有两个同学生日相同的概率。

clc
clear
tic
m=0; %记录相同的天数
N=10000;%仿真的次数
for n=1:N
    A=zeros(1,365);%生日的365天
    for jj=1:23
        ii=unidrnd(365);%选择生日的天数
        A(ii)=A(ii)+1;%该天数加1
    end
    B=(A>=2);%选出有相同的天数
    if mean(B)>0 
        m=m+1;%该天数计数
    end
end
rate=m/N
time=toc 

可以看出B为布尔类型，只要某一天有两个人以上，该位置就为1，用平均值得方法来判断有没有1的存在，判断方法很巧妙。

该程序思路是将365天为主题，生日在天数上加1，巧妙的解决了选出23个数是否相同的比较，思路很新颖。

 

4、将A和B传递出去，接收端收到A误作为B的概率为0.02，收到B误作为A的概率为0.01，编码端符号A和B出现的概率为2:1，（1）问正确接收的概率为多少（2）若收到符号为A，则发送端发送为A的概率为多少。

clc
clear
tic
n=0;
n_aa=0;
n_ba=0;
m=0;
N=10000;%实验次数
for ii=1:N
    c=rand;%判断发送AorB
    if c>1/3 %发送A
        m=m+1;%发送A的次数
        d=rand;%判断接收到A或者B
        if d>0.02 %接收到A
            n_aa=n_aa+1;
            n=n+1;%正确接收A（B）个数（正确接收A）
        end
    else %发送B
        e=rand;%判断接收AorB
        if e>0.01
            n=n+1;%正确接收到B（A）的次数
        else
            n_ba=n_ba+1;%接收到A的次数（错误接收A）
        end
    end
end
p1=n/N %正确接收的概率
p2=n_aa/(n_aa+n_ba)%发送A的概率
time=toc

将循环向量化，一次性生成n个数，然后将n分类

clear
tic
N=10000;%循环次数，本质是将循环次数分类
c=rand(1,N);
m=length(find(c>1/3));%find 返回大于0.3数的位置，求出发送A的个数
d=rand(1,m);%判断接收到AorB
n_aa=length(find(d>0.02));%发A接收A的个数
e=rand(1,N-m);%发送B的个数
n_ba=length(find(e<=0.01));%发B接收A的个数
n=n_aa+(N-m-n_ba);%接收正确的个数
p1=n/N%接收正确的概率
p2=n_aa/(n_aa+n_ba)%收A发A的概率
time=toc

对标两段运行时间，明显向量化后的程序时间更短，更优化。缺点是占用内存。编程时要综合考虑两者问题。

 

 5、一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？

策略1：直接选第一层

策略2：第一层不拿，从第二层开始，采取如下策略（1）如果第二层比第一层大，则选择第二层，否则在上一层，（2）如果第三层比前面两侧都大，则选择第三层，否则继续上一层。（3）循环，如果到第九层还没有取到要求的钻            石，则选择第十层钻石

 

策略3，前两层不拿，从第三层开始上述的策略

……

 

策略10：直接选择第十层

clc
clear
tic
N=10000; 
for kk=0:9 %10种策略
    n=0;
    for ii=1:N %次数
        jj=kk; %策略
        a=randperm(10);%钻石大小
        b=a(1:jj);%jj=0时，产生一个空集
        m=max(b);
        while(m>a(jj+1))&(jj<9)%初始jj=0,m=[],小于a(jj+1),选择a(1);中间，m是前jj个的最大值，如果m<a(jj+1),则选择a(jj+1),否则，继续选择前jj加1个最大，循环；
                                %（j<9）的条件是最后的结束条件，此时就是结束条件，选择第10个
            jj=jj+1;
            b=a(1:jj);
            m=max(b);
        end
        if (a(jj+1)==10)|((jj==9)&(m<10))%前一个条件是中间选择了，比价是否是最大的；后面的条件是，前9个最大的值小于10，则选择的第十个一定是最大值。
            n=n+1; %选择到最大数的个数
        end
    end
    rate(kk+1)=n/N;
    fprintf(\'rate%d = %5.4f \\n\',kk+1,rate)
end
time=toc

plot(rate,\'o-\')
xlabel(\'策略/n\')
ylabel(\'概率\')
grid on

可以看到策略4可以取到最大的概率。