模板扩展欧几里得 + 逆元

Posted 2020-10-13 Dance Of Faith

事实上，我们可以直接在欧几里德算法求解 gcd(a, b) 的过程中，构造一组 ax + by = gcd(a, b) 的解 

这个方法依赖于递归的思想 
边界：b = 0 时, a * 1 + b * 0 = gcd(a, b) 
设我们找到了一组 b * x + (a % b) * y = gcd(a, b) 的解，那么： 
-->  b * x + (a - [a / b] * b]) * y = gcd(a, b)

-->  a * y + b * (x - [a / b] * y) = gcd(a, b) 
令 x’ = y, y’ = (x - [a / b] * y)，可以得到： 
ax’ + by’ = gcd(a, b)

LL Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if (b==0){
        x=1; y=0; return a;
    }
    LL G=Exgcd(b,a%b,x,y),tx=x;
    x=y; y=tx-a/b*y;
    return G;
}

 

 

事实上，扩欧可以用来求逆元：

形如 a * x ≡ 1 (mod p) 的式子

可以看成： a * x + p * y ≡ 1 (mod p)

显然，当且仅当 gcd(a, p) = 1 时存在一组解(x, y)满足条件，也就是存在a mod p的逆元。

我们很容易知道 x 就是a mod p 的逆元。

LL GetInv(LL a,LL p){
    LL x,y;
    LL G=Exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}