加分二叉树 vijos1991 NOIP2003第三题 区间DP/树形DP/记忆化搜索

Posted 2020-10-12 JayWang

描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历

知道[x,y]的中序遍历，那么对于任意的 k∈[x,y]，可以把x到y形成的（子）树分为 [x,k-1] 的左子树与 [k+1,y] 的右子树，k为根节点。然后根据题意求解后，记录最优解即可。

对于一个求到的最优解[x,y]-k，我们就记录[x,y]区间的最优解的根是k，给遍历的时候用。

下面copy一段某神犇的话

我们知道因为该二叉树的中序遍历为1....n
根节点的选取其实有无数种情况
那我们就递归枚举所有可能的根节点比较所能得到的最大值
我们设f[i][j]表示i结点到j结点的加分二叉树所能达到的最大加分值
root[i][j]=k表示该最大加分值是在根节点为k的时候达到的
那么我们就可以得到下面的状态转移方程
f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j]+d[k],i<=k<=j)
注意边界子树为空时加分值为1

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<class T> inline void read(T &_a){
    bool f=0;int _ch=getchar();_a=0;
    while(_ch<‘0‘ || _ch>‘9‘){if(_ch==‘-‘)f=1;_ch=getchar();}
    while(_ch>=‘0‘ && _ch<=‘9‘){_a=(_a<<1)+(_a<<3)+_ch-‘0‘;_ch=getchar();}
    if(f)_a=-_a;
}

long long ans,a[31],n,dp[31][31],root[31][31];

void print(int l,int r)
{
    if(l>r) return ;
    int res=root[l][r];
    printf("%d ",res);
    print(l,res-1);
    print(res+1,r);
}

int main()
{
    read(n);
    for (register int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
    for (register int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=a[i],root[i][i]=i;
    for (register int i=1;i<n;++i)
        for (register int v=1;v+i<=n;++v)
            for (register int j=0;j<=i;++j)
                {
                    long long tmp=(dp[v][v+j-1]==0?1:dp[v][v+j-1])*(dp[v+j+1][v+i]==0?1:dp[v+j+1][v+i])+a[v+j];
                    if(tmp>dp[v][v+i]) dp[v][v+i]=tmp,root[v][v+i]=v+j;
                }
    printf("%lld\n",dp[1][n]);
    print(1,n);
    return 0;
}