关于graham扫描法求凸包的小记
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于graham扫描法求凸包的小记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1、首先，凸包是啥：
若是在二维平面上，则一般的，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
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2、那么，如何通过某种算法求二维平面上的凸包呢？
有Graham扫描法（Graham scan algorithm），复杂度O(nlogn)。
话不多说，先上当年大佬的论文……
呃，可以看到，这个标题是非常的酷嗷，对于有限平面点集的凸包计算的高效算法，划重点。
给一个平面点集S，标号为s1~sn，据说我们经常对找它的凸包感兴趣（真的吗……我怎么从来没感兴趣过……）
然后graham教授就给了我们一种炫酷的五步法，来求凸包。
第一步：
目标是找个在凸包内部的点P。
我们对集合S三个点三个点进行检测，检测它们是否共线：
若共线，扔掉中点；
若不共线，就选这三个点所组成的三角形的质心作为点P。
第二步：
以P为原点，任意一个方向为θ=0轴，建立一个极坐标系；
对集合S中的每个点si，都按这个坐标系表示一下它们的坐标。
第三步：
现在每个点都有坐标 r i ∠ θ i ，我们对这些点，按照θ的升序进行排序。
第四步：
如果有某两个点的角度相等，就删掉r较小的那个点，因为它显然不可能是凸包边界上的点。
另外呢，所有r=0的，也可以删了，反正也impossible。
then，重新给还存在着的点编号，新的集合记为S\'。
第五步：
对于S\'中连续的三个点k,k+1,k+2，如图2，有两种可能：
1）α + β ≥ π，看图，就很容易知道，这个点k+1，显然不可能是凸包边界上的点了；
回到步骤五，重新选择点k-1,k,k+2作为新的三个点；
2）α + β < π，就回到步骤五，选择点k+1,k+2,k+3作为新的三个点；
相当于往前进。
原文件：https://files.cnblogs.com/files/dilthey/graham%E6%89%AB%E6%8F%8F%E6%B3%95.pdf
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3、那么放到程序中，具体如何实现呢？
我们保留“对于三个点，判断角α、β和是否小于180度，并且进行相应的前进退后”的思想，不过对于选取原点的方法进行一定的修改。
①找到点集S中纵坐标最小的点（如果y坐标相同，则选其中横坐标最小的），作为原点P0。
②计算其他所有点的辐角，并且将他们按从小到大排序，如果遇到辐角相同的一些点，则按与原点距离从小到大排序，记为P1~Pn。
③建栈，入栈P0,P1,P2；
④选取一个点Pi（i初始值为3），前往步骤⑤；
⑥获得栈顶点和次栈顶点Pk,Pk-1，
进行判定：如果 Pk-1 -> Pk -> Pi 是右转的（其实就是α + β ≥ π），就弹出栈顶元素，并且返回步骤⑥；
如果是左转的（α + β < π），就入栈点Pi，并且i+=1，返回步骤④；
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4、代码模板：
#include<bits/stdc++.h> #define MAX 10005 #define eps 1e-6 using namespace std; struct Point{ double x,y; Point(double tx=0,double ty=0):x(tx),y(ty){} }p[MAX]; typedef Point Vctor; Vctor operator - (Point A,Point B){return Vctor(A.x-B.x,A.y-B.y);} int dcmp(double x) { if(fabs(x)<eps) return 0; else return (x<0)?(-1):(1); } //叉积 double Cross(Vctor A,Vctor B){return A.x*B.y-A.y*B.x;} //距离 double dist(Point p1,Point p2){return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));} bool cmp(Point p1,Point p2) { double tmp=Cross(p1-p[0],p2-p[0]); if(!dcmp(tmp)) return dist(p[0],p1)<dist(p[0],p2); else return tmp>0; } vector<Point> graham_scan(int n) { vector<Point> ans; if(n<=0) return ans; if(n<=2)//当只有1或2个点时 { if(n==2 && (p[1].y<p[0].y || (p[1].y == p[0].y && p[1].x < p[0].x)) ) swap(p[0],p[1]); for(int i=0;i<n;i++) ans.push_back(p[i]); return ans; } int idx=0; for(int i=1;i<n;i++)//选出Y坐标最小的点，若Y坐标相等，选择X坐标小的点 { if(p[i].y<p[idx].y || (p[i].y == p[idx].y && p[i].x < p[idx].x)) idx=i; } swap(p[0],p[idx]); sort(p+1,p+n,cmp); for(int i=0;i<=2;i++) ans.push_back(p[i]); int top=2; for(int i=3;i<n;i++) { while(top>0 && Cross(p[i]-ans[top-1],ans[top]-ans[top-1]) >= 0) { ans.pop_back(); top--; } ans.push_back(p[i]); top++; } return ans; }
以上是关于关于graham扫描法求凸包的小记的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
凸包（Convex Hull）构造算法——Graham扫描法
[hdu contest 2019-07-29] Azshara's deep sea 计算几何 动态规划 区间dp 凸包 graham扫描法