数理方程：Laplace变换

Posted 2020-07-02 羽夜

更新：25 APR 2016

Laplace变换

设函数\\(f(t)\\)在\\(t>0\\)时有定义，积分

\\(F(s)=\\int_0^{+\\infty}f(t)e^{-st}dt \\qquad (s\\in \\mathbb{C})\\)

若在s的某一域内收敛，则称此映射为Laplace变换，记为

\\(F(s)=\\mathscr{L}[f(t)],\\qquad f(t)=\\mathscr{L}^{-1}[F(s)]\\)

实际上，\\(f(t)\\)的Laplace变换就是\\(f(t)u(t)e^{-\\beta t} (\\beta>0)\\)取Fourier变换。

 

Laplace变换性质

1. 线性

2. 微分性

\\(\\mathscr{L}[f’(t)]=s\\mathscr{L}[f(t)]-f(0)\\)

\\(\\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^n\\mathscr{L}[f(t)]-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)-\\cdots-f^{(n-1)}(0)\\)

3. 积分性

\\(\\mathscr{L}\\left[\\int_0^tf(t)dt\\right]=\\dfrac{1}{s}\\mathscr{L}[f(t)]\\)

4. 位移性质

5. 延迟性质

6. 相似性质

7. 初值定理

8. 终值定理

 

Laplace逆变换

利用Fourier变换可以得出

\\(f(t)=\\dfrac{1}{2\\pi\\mathrm{i}}\\int_{\\beta-\\mathrm{i}\\omega}^{\\beta+\\mathrm{i}\\omega}F(s)e^{st}ds, t>0\\)

积分成为Laplace反演积分。求此反演积分可以使用留数来计算：

若\\(s_1, s_2, …, s_n\\)是函数\\(F(s)\\)的所有奇点，且当\\(s \\rightarrow \\infty\\)时\\(F(s) \\rightarrow 0\\)，则

\\(f(t)=\\dfrac{1}{2\\pi \\mathrm{i}}\\int_{\\beta-\\mathrm{i}\\omega}^{\\beta+\\mathrm{i}\\omega}F(s)e^{st}ds=\\sum\\limits_{k=1}^{n}\\underset{s=s_k}{\\operatorname{Res}}[F(s)e^{st}]\\)

 

求Laplace变换的方法-留数