bzoj5074[Lydsy十月月赛]小B的数字 数学

Posted 2020-10-12 GXZlegend

题目描述

给定数列$a_i$，问是否存在满足下列条件的数列$b_i$：

$b_i=2^p,p\in N^*\\\forall k(\prod\limits_{i=1}^nb_i|b_k^{a_k})$

输入

第一行一个正整数T 表示数据组数。
对于每一组数据：
第一行一个正整数n，表示两串数的长度。
第二行n 个用空格隔开的正整数$a_1...a_n$。

输出

对于每一组数据，输出一行“YES”或者“NO”（不含双引号），表示是否可能找到满足题意的$b_1...b_n$。

样例输入

3
2
3 2
3
3 3 3
2
1 10

样例输出

YES
YES
NO

---

题解

考虑将$b$取$\log$，设$w_i=\log_2b$，那么原限制条件就变成：

$w_i\in N^*\\\forall k(\sum\limits_{i=1}^nw_i\le a_kw_k)$

注意到这个限制条件的成立性在所有$w_i$均乘上一个数时不变，因此可以把$w_i$的范围扩展到所有正有理数，因为只需要乘上它们分母的lcm即可变为正整数。

于是有：

$w_i>0\\\forall k(\sum\limits_{i=1}^nw_i\le a_kw_k)$

把第二个限制条件变形可以得到：

$\forall k(\frac{\sum\limits_{i=1}^nw_i}{a_k}\le w_k)$

因此把不等式加起来可以得到：

$\sum\limits_{i=1}^n\frac 1{a_i}·\sum\limits_{i=1}^nw_i\le \sum\limits_{i=1}^nw_i$

由于$w_i$为正，因此它们的和也是正数。所以当且仅当$\sum\limits_{i=1}^n\frac 1{a_i}\ge 1$时，不等式有解。

因此当不满足此条件时不等式无解，因此也意味着不存在满足条件的$w_i$。

当满足条件$\sum\limits_{i=1}^n\frac 1{a_i}\ge 1$，可以令$w_i=\frac 1{a_i}$，代入易证满足条件，因此存在满足条件的解。

由此得到结论：$\sum\limits_{i=1}^n\frac 1{a_i}\ge 1$时有解，否则无解。

为了避免浮点数误差，使用$10!$除以$a_i$即可。

时间复杂度$O(Tn)$

#include <cstdio>
#define fac 3628800
int main()
{
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		int n , i , x;
		long long s = 0;
		scanf("%d" , &n);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , s += fac / x;
		if(s <= fac) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}