平衡树学习笔记

Posted 2020-10-12

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了平衡树学习笔记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

平衡树大名早有耳闻，而且据说会成为新考点。

今晚zhx大佬讲了一下基本概念和代码实现，我就把当时手写的笔记搬上来吧。

（中间被一找我debug代码的人卡了一个小时，我tm早知道不该帮他。。。就是道大爆搜自己看题解不行吗。。。。只能过样例但是爆0我怎么知道你错哪了。。。有毒吧卧槽。。）

（其实有很多不和谐的话，我自动屏蔽吧）

特别长的笔记，看看今晚能不能写完吧。。

由于时间仓促，再加算法略加高级，所以我的措辞应该会有严重不规范甚至完全错误的地方，还请大佬看到后指正，欢迎私信炮轰。

只能作为参考，在定型之前不具备客观上的学习意义，各位看时请带着debug的眼神来看。

平衡树的概念

　　我们假设您知道线段树是怎么回事。我们知道，线段树可以进行区间操作，比如区间修改和区间查询，但是没有办法去执行一个增加和删除的操作。

　　平衡树在功能上解决了线段树无法进行增删的缺陷。

　　这次主要写两个操作，一个插入，一个删除。

平衡树常见的类型

　　当然有什么替罪羊树，朝鲜树之类的奇怪的平衡树就不说了。。

　　SBT：Size Balanced Tree，节点大小平衡树。优点是快而且相对好写，缺点是相比于其他的平衡树功能不太全。

　　treap：这也是今天课上讲的平衡树，其单词由tree和heap融合而成，也叫树堆。优点是比SBT更好写，但是速度比SBT慢。

　　（我记得rqy大佬在Day0的时候给我说过一个叫二叉搜索树的东西，好像就是它了）

　　RBT：Red Black Tree，红黑树，它比SBT还快，但是初学者的话。。。。大概3.5h左右能写出来。。。。

　　splay：这个数据结构据说之前一段时间挺火，学平衡树的各位都要学这个算法。。。但是它。。。。。

　　特别慢，常数巨大无比。

　　怎么个慢法？前三个平衡树单次操作都是基本上O(logn)的，splay的单次操作虽然也写作O(logn)，但是由于其巨大的常数，实际跑起来和O(sqrt(n))差不多，并且不太好写。

　　但是功能极强。

　　平衡树常见的一个操作叫旋转，今天讲的这个是没有旋转操作的可持久化treap，（虽然可持久化没讲完）

一个普通的treap（二叉搜索树）是什么样的，有什么基本性质？

　　先放结论。

　　对于一个点，其左儿子永远比它小，右儿子永远比它大。推论：对一个这样的treap，其中序遍历是有序的。

　　对于一个T = ｛1,2,3,4,5｝，treap长的是这样的：

　　看一下，是不是满足上面那个性质啊。

　　上面我们说到插入操作。那么如果我要插入一个2.33，这个点应该在哪呢？

　　既然插入，那么这个插入的位置一定要合法，也就是说，插入之后，也一定要满足这个性质。

　　正常向的做法：我们从根节点开始比对，发现根节点是4，比2.33大，那么我们就去它的左儿子找位置，因为左儿子永远比根节点小。然后找到2，发现2比2.33大，那么我们就去2的右儿子找位置。然后找到3，发现3比2.33大，按照规律应该是找左儿子，但是3号点已经是最底端没有儿子了，怎么办？其实已经找到了，就在3的左儿子那里新开一个点，把2.33放进去即可。

　　但我们发现，这样的操作如果变多了，树的某个链就有可能会变得很长很长，所以这样的插入方法插入的深度不会很深，这可以叫不平衡。但我们是平衡树啊，一定得想办法让它平衡才行。

　　其实不同的平衡树那些不同的叫法，实质上都是平衡手段不同。

　　这里补充一个操作，询问区间和。

　　请看上面第一个图，如果我要询问区间[1,4]之和，线段树的做法肯定是分成左半段+右半段，然后把两个子节点的权值加起来。而平衡树不是，平衡树会把整个区间拆成诸如[1,3],[4,4],[5,5]这样的三段（也就是会单独把根节点拆开），然后再去求解区间和。

　　回归正题，插入操作。

　　我们之前说treap叫树堆，这里拆分成的tree代表一般平衡树，而heap代表一个堆（理论上大根小根都行，这里默认大根，下文讨论全部基于大根堆），其实堆不也是一种二叉树的形式吗。。它要求每个点的值都要比任何一个子节点都大，也就是从叶到根这个值是单调递增的。

　　但是，细心的读者会发现，堆和平衡树的性质其实是矛盾的。那么我们应该怎么去解决这个矛盾呢？其实这里有一个合并思想，那就是在treap里面每个点都存储两个值，即key和value。

　　这里的key满足堆的性质，而value就是treap里原来存的那个值，就是中序遍历满足平衡树性质那个。

　　key的值在实际应用中一般都采用随机化。（rqy：为了防止出题人卡你）

　　其实使用随机化可以保证树的深度会在logn级别。

　　这样我们就得到了一个比较正经的treap。

　　（大括号内第一个值是key，第二个值是value，key已经随机化）

　　回到我们最初的问题。如果要插入一个2.33，插哪里？

　　我们假设与2.33相对应的key值是6，其他数不变。

　　如果再用之前那个查询的方法显然是不可以的。我们需要新方法。

　　首先我们列表：

key	1	8	2	9	7	6
value	1	2	3	4	5	2.33

　　首先很显然呢根节点应该是｛9,4｝，然后左儿子是｛8,2｝，右儿子是｛7,5｝。对于｛8,2｝这个点，其左儿子是｛1,1｝，右儿子是｛6,2.33｝，｛6,2.33｝没有左儿子，只有右儿子｛2,3｝

　　各位看一下，是不是两个性质都满足了？

　　接下来便是重头戏，merge操作和split操作。

　　对于一个merge操作，有两个参数p1和p2，这个操作可以将以p1为根节点的treap与以p2为根节点的treap合并成一个新的treap，并返回这个treap。

　　但这个操作是有一个前提的，那就是p1要小于等于p2。换句话说，是要让p1最大的节点的value值小于等于p2的最小的节点的value值。

　　下一个操作叫split，它也是接受两个参数，一个是p一个是k。这个操作的意思是在以p为根的treap中把前k小的数拿出来，组成一个新treap。相当于一个拆分操作，把这个有n个节点的treap p拆成一个有k个节点的p1，一个有n-k个节点的p2。

　　不难看出，split与merge操作互逆。

　　这个拆分也是有特性的。它要求拆分出的p1小于等于p2。意思和上面merge是一样的。

　　　我们来演示一下这个插入和删除的过程。

　　比如有一棵树P={1,2,3,4,5}，我们要插一个2.33进去，在查找过程中发现了2.33<3，在3前面有两个元素，所以我们的操作是：首先执行split(p,2)，把这棵树分成两棵比较小的树，这样分完应该是有p1{1,2}和p2{3,4,5}。下一步要怎么做？我们建立一个新treap，这个新treap只有2.33这个值，我们假设这个新treap为newp，然后去执行merge(merge(p1,newp),p2)就可以得到一个插入这个点的新的treap。

　　我把它叫作：“三树并一插新点”。

　　删除过程。我们假设有P={1,2,3,4,5}，然后我们要把里面的{2}拿出来，这个要怎么做？做法是split两次，在{2}的左边和右边各一次，也就是要把树拆成这样的样子：{1}{2}{3,4,5}，然后把{1}和{3,4,5}合并一下，就完成了删除操作。这一步操作其实是把{2}孤立了出来，使之不再属于原来的treap。

　　我把它叫作：“二（子）树合并孤立点”。

　　在实际操作上，假设我们要执行merge(p1,p2)，我们知道对于treap的一个节点是有key和value两个值的，在实际操作的时候，还要记录某个点的的左儿子l和右儿子r。

　　合并的话你肯定是要先决定根是哪个的。根据treap的堆性质，其最上面的点key值应该最大，而在原来的p1和p2里面也只可能会是两个根节点p1和p2最大，所以只可能会有这两个点中的其中一个当根。我们分两种情况，第一种是p1.key > p2.key，那么显然是以p1为根的吧。根据之前讨论的性质，插入要保证p1是小于等于p2的，所以p2要放在哪？是p1的右儿子。而p1的左儿子不是p2，所以左儿子维持不变，仍然是p1.l，而右儿子就会变成merge(p1.r,p2)。

　　这个操作的优先级用堆的key值可以保证。可以看出这个操作是递归的。merge函数的返回值就是merge出的树的根节点。

　　我们考虑第二种情况，p1.key < p2.key，同理，可以得到

　　这个操作也是递归的。

　　实际操作的split是如何呢？

　　我们再来回顾一下split的定义：一个操作split(p,k)，它会把以p为根节点的treap的前k小节点拆出来，我们依然是需要记录p的key，value，l和r。同时还要多记录一个p.size，它代表树中有多少节点。我们知道这个split是会把一个p拆成p1和p2的，这个p1便是理想状态下前k小的左子树，p2则包含p和p.r。

　　
　　这里分三种情况。第一种是k小于等于p.l.size，那么我们split(p.l,k)，它返回两棵树｛p1,p2｝，我们选其中的p1，不选p2的原因是p2并不包含｛p,p.r｝，那么怎么办？只需要再构造一个｛p,p.l,p.r｝的treap返回就好。