AtCoder ARC 082E - ConvexScore

Posted 2020-10-12 SiuGinHung

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本题是一个平面几何问题。

在平面直角坐标系中有一个n元点集U={A_i(x_i,y_i)|1≤i≤n}。考虑以U的子集S中的点为顶点围成的凸多边形P，若这个凸多边形P内（含边界）的点数为k，则这个子集S的权值为f(S)=2^k-|S|。求所有子集S的权值之和$\sum_{S\subseteq U}f(S)$（对998,244,353取余）。

定义一个点集上的凸包运算H:G→S。即：平面上的一个点集G，有凸包S=H(G)。

设凸多边形P内的点（除顶点外）构成的集合为T，则|T|=k-|S|。于是，f(S)=2|T|，即f(S)为T的子集个数。设T’是T的一个子集，则：由于集合S=H(S∪T’)，即S为S∪T’的凸包，故集合S∪T’对f(S)的贡献为1。

于是，对于U的一个子集G，若凸多边形P的顶点集为H(G)，则集合G对ans的贡献为1。因此，在不考虑多点共线的前提下，$ans=\card{G|G\subseteq U,G\ge 3}=2^n -(C_{n}^{2}+n+1)$。

若考虑多点共线的情形，则枚举之。设1≤j<i≤n，记L(i,j)={A_k|A_k on A_iA_j,1≤k<j<i≤n}，则在G≥2的情形下，凸包面积为0的情况数为$\sum_{1\ge j\ge i\ge n}2^{|L(i,j)|}$。

因此，$ans=\card{G|G\subseteq U,G\ge 3}-\sum_{1\ge j\ge i\ge n}2^{|L(i,j)|}。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 201
#define MOD 998244353

int x[MAX_N], y[MAX_N], p[MAX_N];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    p[0] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        p[i + 1] = (p[i] << 1) % MOD;
    int ans = p[n] - n - 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            int cnt = 0;
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                if ((x[i] - x[j]) * (y[i] - y[k]) == (x[i] - x[k]) * (y[i] - y[j]))
                    cnt++;
            }
            ans -= p[cnt];
            ans += MOD;
            ans %= MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}