noip模拟赛 abcd

Posted 2020-10-12 zbtrs

【问题描述】
有4个长度为N的数组a,b,c,d。现在需要你选择N个数构成数组e，数组e满足
a[i]≤e[i]≤b[i]以及

 

并且使得

 

最大。
【输入格式】
输入文件名为abcd.in。
输入文件共 N+1 行。
第 1 行包含1个正整数N。
第 i+1 行包含4个整数a[i],b[i],c[i],d[i]。
【输出格式】
输出文件名为abcd.out。
输出共1行，包含1个整数，表示所给出公式的最大值。输入数据保证一定有
解。
【输入输出样例1】

abcd.in	abcd.out
5 - 1 1 2 5 -2 2 1 2 0 1 1 3 -2 -1 3 10 -2 2 3 9	2

【输入输出样例2】

abcd.in	abcd.out
10 1 10 1 7 -10 10 2 0 -10 10 2 2 -10 10 2 0 1 10 1 0 -10 10 2 0	90

分析：比较容易看出来这是一道多重背包的题.但是朴素做法肯定过不了，需要优化.比较常见的优化是二进制法和单调队列.这道题用二进制法比较好处理.

      由于[ai,bi]中可能包含负数，所以需要对式子变形.

     [ai,bi] ---> [0,bi-ai] + ai = ei.  Σei*ci = 0,因为要让背包的容积是最大的，所以ei取bi-ai,那么Σei*ci = 0 ---> Σ(bi - ai)*ci + ai*ci = 0,移项，可以得到背包的容积为-Σai*ci.要最大化Σei*di ---> Σ(bi-ai)*di + ai*di.

     这样变形后，ei的取值范围就变成了[0,bi-ai],就可以分解成二进制数来做了.

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, a[210], b[210], c[210], d[210], m,f[210000], ans, v[210000], w[210000], cnt;

void init(int num, int x, int y)
{
    for (int i = 1; i <= num; i *= 2)
    {
        v[++cnt] = x * i;
        w[cnt] = y * i;
        num -= i;
    }
    if (num)
    {
        v[++cnt] = x * num;
        w[cnt] = y * num;
    }
}

int main()
{
    memset(f, -127 / 3, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d", &a[i], &b[i], &c[i], &d[i]);
        m -= a[i] * c[i];
        b[i] -= a[i];
        ans += a[i] * d[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        init(b[i], c[i], d[i]);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    printf("%d\\n", ans + f[m]);
return 0;
}