bzoj 3757 苹果树（树上莫队算法）

Posted 2020-07-02

 

【题意】

 

    有若干个询问，询问路径u,v上的颜色总数，另外有要求a,b，意为将a颜色看作b颜色。

 

【思路】

 

    vfk真是神系列233。

    Quote：

 

用S(v, u)代表 v到u的路径上的结点的集合。

用root来代表根结点，用lca(v, u)来代表v、u的最近公共祖先。

那么

S(v, u) = S(root, v) xor S(root, u) xor lca(v, u)

其中xor是集合的对称差。

简单来说就是节点出现两次消掉。

 

lca很讨厌，于是再定义

T(v, u) = S(root, v) xor S(root, u)

观察将curV移动到targetV前后T(curV, curU)变化：

T(curV, curU) = S(root, curV) xor S(root, curU)

T(targetV, curU) = S(root, targetV) xor S(root, curU)

取对称差：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= (S(root, curV) xor S(root, curU)) xor (S(root, targetV) xor S(root, curU))

由于对称差的交换律、结合律：

T(curV, curU) xor T(targetV, curU)= S(root, curV) xor S(root, targetV)

两边同时xor T(curV, curU)：

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor S(root, curV) xor S(root, targetV)

发现最后两项很爽……哇哈哈

T(targetV, curU)= T(curV, curU) xor T(curV, targetV)

（有公式恐惧症的不要走啊 T_T）

 

也就是说，更新的时候，xor T(curV, targetV)就行了。

即，对curV到targetV路径(除开lca(curV, targetV))上的结点，将它们的存在性取反即可。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　from vfleaking

 

    设目前指针处于a,b，且now为已经得到的T(curV,curU)的统计答案，此次询问为u,v，则我们使a->u,b->v，设计一个vis标记，路上取反标记并更新now，即xor T(curV,targetV)，最后还要取反lca(u,v)才是一个完整的u->v路径。

 

【代码】

 

  1 #include<set>
  2 #include<cmath>
  3 #include<queue>
  4 #include<vector>
  5 #include<cstdio>
  6 #include<cstring>
  7 #include<iostream>
  8 #include<algorithm>
  9 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 10 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 11 using namespace std;
 12 
 13 typedef long long ll;
 14 const int N = 4e5+10; 
 15 const int D = 21;
 16 
 17 ll read() {
 18     char c=getchar();
 19     ll f=1,x=0;
 20     while(!isdigit(c)) {
 21         if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();
 22     }
 23     while(isdigit(c))
 24         x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
 25     return x*f;
 26 }
 27 
 28 struct Edge {
 29     int v,nxt;
 30 }e[N];
 31 int en=1,front[N];
 32 void adde(int u,int v) 
 33 {
 34     e[++en]=(Edge){v,front[u]}; front[u]=en;
 35 }
 36 
 37 int n,m,B,B_cnt,now,dfsc,dfn[N],ans[N];
 38 int pos[N],a[N],cnt[N],vis[N],fa[N][D],dep[N],st[N],top;
 39 
 40 struct Node 
 41 {
 42     int id,l,r,a,b;
 43     bool operator < (const Node& rhs) const
 44     {
 45         return pos[l]<pos[rhs.l] || (pos[l]==pos[rhs.l]&&dfn[r]<dfn[rhs.r]);
 46     }
 47 } q[N];
 48 
 49 int dfs(int u)
 50 {
 51     FOR(i,1,D-1)
 52         fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
 53     int size=0;
 54     dfn[u]=++dfsc;
 55     trav(u,i) 
 56     {
 57         int v=e[i].v;
 58         if(v!=fa[u][0]) {
 59             fa[v][0]=u;
 60             dep[v]=dep[u]+1;
 61             size+=dfs(v);
 62             if(size>=B) {
 63                 B_cnt++;
 64                 while(size--)
 65                     pos[st[top--]]=B_cnt;
 66             }
 67         }
 68     }
 69     st[++top]=u;
 70     return size+1;
 71 }
 72 int lca(int u,int v)
 73 {
 74     if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
 75     int t=dep[u]-dep[v];
 76     FOR(i,0,D-1) 
 77         if((1<<i)&t) u=fa[u][i];
 78     if(u==v) return u;
 79     for(int i=D-1;i>=0;i--)
 80         if(fa[u][i]!=fa[v][i])
 81             u=fa[u][i],v=fa[v][i];
 82     return fa[u][0]; 
 83 }
 84 void upd(int u)
 85 {
 86     if(!vis[u]) {
 87         vis[u]=1; 
 88         now+=(++cnt[a[u]])==1;
 89     } else {
 90         vis[u]=0;
 91         now-=(--cnt[a[u]])==0;
 92     }
 93 }
 94 void work(int u,int v)
 95 {
 96     while(u!=v)
 97     {
 98         if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
 99         upd(u); u=fa[u][0];
100     }
101 }
102 int main()
103 {
104 //    freopen("in.in","r",stdin);
105 //    freopen("out.out","w",stdout);
106     n=read(),m=read();
107     B=sqrt(n);
108     FOR(i,1,n) a[i]=read();
109     int rt,u,v;
110     FOR(i,1,n) {
111         u=read(),v=read();
112         if(!u) rt=v;
113         else if(!v) rt=u;
114         else adde(u,v),adde(v,u);
115     }
116     dfs(rt);
117     B_cnt++;
118     while(top) pos[st[top--]]=B_cnt;
119     FOR(i,1,m) {
120         q[i].l=read(),q[i].r=read();
121         q[i].a=read(),q[i].b=read();
122         q[i].id=i;
123         if(dfn[q[i].l]>dfn[q[i].r]) swap(q[i].l,q[i].r);
124     }
125     sort(q+1,q+m+1);
126     
127     work(q[1].l,q[1].r);
128     int lc=lca(q[1].l,q[1].r);
129     upd(lc);
130     ans[q[1].id]=now;
131     ans[q[1].id]-=(q[1].a!=q[1].b)&&(cnt[q[1].a]&&cnt[q[1].b]);
132     upd(lc);
133     
134     FOR(i,2,m) {
135         work(q[i-1].l,q[i].l);
136         work(q[i-1].r,q[i].r);
137         lc=lca(q[i].l,q[i].r);
138         upd(lc);
139         ans[q[i].id]=now;
140         ans[q[i].id]-=(q[i].a!=q[i].b)&&(cnt[q[i].a]&&cnt[q[i].b]);
141         upd(lc);
142     }
143     
144     FOR(i,1,m)
145         printf("%d\n",ans[i]);
146     return 0;
147 }