洛谷八连测R5 题解

Posted 2020-10-12 Sakits

　　woc居然忘了早上有八连测T T 还好明早还有一场...今天的题除了T3都挺NOIP的...

　　T1只需要按横坐标第一关键字,纵坐标第二关键字排序一个一个取就好了...

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=500010,inf=1e9;
struct poi{int x, y;}a[maxn];
int T, n, m, k, ans;
bool v1[maxn], v2[maxn];
void read(int &k)
{
    int f=1;k=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
inline bool cmp(poi a, poi b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); read(m); read(k); ans=0;
        for(int i=1;i<=k;i++) read(a[i].x), read(a[i].y), v1[a[i].x]=v2[a[i].y]=0;
        sort(a+1, a+1+k, cmp);
        for(int i=1;i<=k;i++)
            if((!v1[a[i].x])&&(!v2[a[i].y])) ans++, v1[a[i].x]=v2[a[i].y]=1;
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

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　　T2是道好题,但是是经典题...怎么大原题出在八连测啊

　　求回文子序列个数是个经典的区间DP,今天发现区间DP写记忆化会非常好写...(但是怎么感觉NOIP的时候可能会被卡常QAQ

　　设f[l][r]为区间[l,r]的回文子序列个数,考虑暴力的做法再来优化. 因为数字的值域为[1,k<=30],所以可以枚举所有的数字来统计方案数.

　　先预处理出pre[i][j],nxt[i][j]分别表示第i位前面最晚出现的j和第i为后面最早出现的j的位置,枚举数字来转移的时候,考虑一下,我们显然可以把这两个字符接在[nxt[l][x]+1,pre[r][x]-1]的所有回文子序列的两端,所以方案数加上f[nxt[l][x]+1,pre[r][x]-1],这个时候已经不存在x只出现一次和只出现两次的子序列了,所以如果nxt[l][x]<pre[r][x],我们可以加上x只出现两次的方案,如果nxt[l][x]<=pre[r][x],我们可以加上x只出现一次的方案,于是总的DP方程为(博客园的公式加载可能需要一点时间QAQ):

$f[l][r]=\sum_{x=1}^{k}f[nxt[l][x]+1][pre[r][x]-1]+[nxt[l][x]<pre[r][x]]+[nxt[l][x]\leq pre[r][x]]$

暴力代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define MOD(x) ((x)>=mod?(x)-mod:(x))
using namespace std;
const int maxn=6010,mod=1e9+7;
int T, n, m, k, l, r;
int a[maxn], f[maxn][maxn], pre[maxn][maxn], nxt[maxn][maxn], last[maxn];
void read(int &k)
{
    int f=1;k=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
int dfs(int l, int r)
{
    if(f[l][r]!=-1)return f[l][r];
    if(l>r)return 0;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        if(nxt[l][i] && pre[r][i])
            ans+=dfs(nxt[l][i]+1, pre[r][i]-1)+(nxt[l][i]<=pre[r][i])+(nxt[l][i]<pre[r][i]), ans=MOD(MOD(ans));
    return f[l][r]=ans;
}
int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); read(m); read(k); 
        memset(f, -1, sizeof(f));
        memset(last, 0, (k+1)<<2);
        for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            last[a[i]]=i;
            for(int j=1;j<=k;j++) pre[i][j]=last[j]; 
        }
        for(int i=1;i<=k;i++) last[i]=n+1;
        for(int i=n;i;i--) 
        {
            last[a[i]]=i;
            for(int j=1;j<=k;j++) nxt[i][j]=last[j];
        }
        for(int i=1;i<=m;i++) read(l), read(r), printf("%d\n", dfs(l, r));
    }
    return 0;
}

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　　其实可以发现每移动一维,至多改变两种数字的贡献,所以我们可以从f[l+1][r]转移的时候去掉[l+1,r]中a[l]和a[l+1]的贡献,在[l,r]里重新加上a[l]和a[l+1]的贡献,注意如果a[l]==a[l+1]的话不能去掉两次加两次...

　　DP方程不好写就不写了...

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define MOD(x) ((x)>=mod?(x)-mod:(x))
using namespace std;
const int maxn=6010,mod=1e9+7;
int T, n, m, k, l, r;
int a[maxn], f[maxn][maxn], pre[maxn][maxn], nxt[maxn][maxn], last[maxn];
void read(int &k)
{
    int f=1;k=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
int dfs(int l, int r);
inline int calc(int l, int r, int x)
{
    if(l>r || nxt[l][x]==n+1 || !pre[r][x] || !x) return 0;
    int ans=dfs(nxt[l][x]+1, pre[r][x]-1)+(nxt[l][x]<=pre[r][x])+(nxt[l][x]<pre[r][x]);
    return MOD(ans);
}
int dfs(int l, int r)
{
    if(f[l][r]!=-1)return f[l][r];
    if(l>r)return 0;
    f[l][r]=dfs(l+1, r);
    if(l<r && a[l]!=a[l+1]) f[l][r]=f[l][r]+calc(l, r, a[l+1]); f[l][r]=MOD(f[l][r]);
    if(a[l]!=a[l+1]) f[l][r]=f[l][r]-calc(l+1, r, a[l])+mod;    f[l][r]=MOD(f[l][r]);
    f[l][r]=f[l][r]-calc(l+1, r, a[l+1])+mod;                     f[l][r]=MOD(f[l][r]);        
    f[l][r]=f[l][r]+calc(l, r, a[l]);                      return f[l][r]=MOD(f[l][r]);
}
int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); read(m); read(k); 
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) f[i][j]=-1;
        memset(last, 0, (k+1)<<2);
        for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            last[a[i]]=i;
            for(int j=1;j<=k;j++) pre[i][j]=last[j]; 
        }
        for(int i=1;i<=k;i++) last[i]=n+1;
        for(int i=n;i;i--) 
        {
            last[a[i]]=i;
            for(int j=1;j<=k;j++) nxt[i][j]=last[j];
        }
        for(int i=1;i<=m;i++) read(l), read(r), printf("%d\n", dfs(l, r));
    }
    return 0;
}

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　　T3是道思维题...

　　有两种做法,一种是正解:即求出$\sum_{i=1}^{n}i^2*(a_i-a_j)$和$\sum_{i=1}^{n}i*(a_i-a_j)$,两式相除即可...

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define MOD(x) ((x)>=mod?(x)-mod:(x))
using namespace std;
const int maxn=500010,mod=1e9+7;
unsigned int T, n, x, sum1, sum2;
void read(unsigned int &k)
{
    int f=1;k=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
inline int power(int a, int b)
{
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1, a=1ll*a*a%mod)
    if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); sum1=sum2=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) read(x), sum1=(1ll*sum1+1ll*i*x)%mod, sum2=(1ll*sum2+1ll*i*i%mod*x)%mod;
        for(int i=1;i<=n;i++) read(x), sum1=1ll*sum1-1ll*i*x%mod+mod, sum2=(1ll*sum2-1ll*i*i%mod*x%mod+mod), sum1=MOD(sum1), sum2=MOD(sum2);
        if(!sum1) puts("0");
            else printf("1 %lld\n", 1ll*sum2*power(sum1, mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}

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　　第二种做法是异或.开一个数组,对于每个数,二进制下哪位是1就给数组的哪位的异或上当前位置,如果最后数组有哪一位不是0就输出就好了...

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=500010,inf=1e9;
unsigned int n, x, now, sum, T;
int f[33];
void read(unsigned int &k)
{
    int f=1;k=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
int main()
{
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n); sum=0;
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            read(x); sum^=x; now=0;
            while(x)
            {
                now++;
                if(x&1) f[now]^=i;
                x>>=1;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            read(x); sum^=x; now=0;
            while(x)
            {
                now++;
                if(x&1) f[now]^=i;
                x>>=1;
            }
        }
        if(!sum) puts("0");
            else
            {
                for(int i=1;i<=32;i++)
                if(f[i])
                {
                    printf("1 %d\n", f[i]);
                    break;
                }
            }
    }
    return 0;
}

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