后宫佳丽问题-几何分布

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了后宫佳丽问题-几何分布相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

from  http://res.tongyi.com/resources/old_article/student/5608.html

后宫佳丽问题简述为:皇上有3000个佳丽,求皇上全部。。完的平均天数,该类问题也可是集完全部卡片,需要多少的卡片的问题。。等等

知乎地址:https://www.zhihu.com/question/59058341
 
 
几何分布的推导:from  http://res.tongyi.com/resources/old_article/student/5608.html

几何分布的期望与方差

结论:(1)技术分享,(2)技术分享,而未加以证明。本文给出证明,并用于解题。

1)由技术分享,知

技术分享

下面用倍差法(也称为错位相减法)求上式括号内的值。记

技术分享

技术分享

两式相减,得

技术分享

技术分享

技术分享,知技术分享,则技术分享,故

技术分享

从而技术分享

也可用无穷等比数列各项和公式技术分享(见教科书91页阅读材料),推导如下:

技术分享

技术分享

相减,

技术分享

技术分享

还可用导数公式技术分享,推导如下:

技术分享

技术分享

技术分享

上式中令技术分享,则得

技术分享

2)为简化运算,利用性质技术分享来推导(该性质的证明,可见本刊6页)。可见关键是求技术分享

技术分享

技术分享

对于上式括号中的式子,利用导数,关于q求导:技术分享,并用倍差法求和,有

技术分享

技术分享

技术分享

技术分享,因此技术分享

利用上述两个结论,可以简化几何分布一类的计算问题。

1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球,现从中每次摸取一个球,取出黑球就放回,取出白球则停止摸球。求取球次数技术分享的数学期望技术分享与方差技术分享

解:每次从袋内取出白球的概率技术分享,取出黑球的概率技术分享技术分享的取值为1,2,3,……,有无穷多个。我们用技术分享表示前k-1次均取到黑球,而第k次取到白球,因此

技术分享。可见技术分享服从几何分布。所以

技术分享

技术分享

2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)。他有10发子弹,现对某一目标连续射击,每次打一发子弹,直到击中目标,或子弹打光为止。求他击中目标的期望。< span="">

解:射手射击次数的可能取值为1,2,…,9,10。

技术分享,则表明他前技术分享次均没击中目标,而第k次击中目标;若k=10,则表明他前9次都没击中目标,而第10次可能击中也可能没击中目标。因此技术分享的分布列为技术分享技术分享

技术分享

技术分享

用倍差法,可求得

技术分享

技术分享

所以技术分享

说明:本例的试验是有限次的,并且技术分享,不符合几何分布的概率特征,因而随机变量技术分享不服从几何分布,也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。


以上是关于后宫佳丽问题-几何分布的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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震惊!为了欣赏后宫的3000佳丽,我竟然用Python做出了一面墙?

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